잠일고등학교
2025년 2학년 2학기 중간고사

잠일고 고2 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

잠일고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이 시험의 등록 문항은 함수의 극한, 함수의 연속, 미분계수와 도함수에 걸쳐 있습니다. 객관식 17문항과 서술·단답형 5문항으로, 기본 개념의 확인부터 여러 조건을 결합하는 문제까지 포함합니다.

극한 계산 공식을 그대로 적용하는 데서 끝나지 않는 시험입니다. 극한이 존재한다는 사실로 다항식의 인수를 정하거나, 극한식을 미분계수의 정의로 바꾸는 과정이 반복됩니다. 처음 주어진 형태가 아니라 계산에 알맞은 형태를 찾아야 합니다.

그래프 해석도 따로 준비해야 합니다. 기울기를 비교하는 6번, 절댓값으로 변형된 그래프를 다루는 16번, 교점 개수로 정의된 함수를 해석하는 19·20번처럼 식과 그림을 오가는 문항이 있습니다. 연산 연습과 함께 조건을 도식화하는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 5번부터 이어지는 어려움 구간

쉬움인 1·2번은 접선의 기울기와 구간별 함수의 연속 조건을 확인합니다. 보통인 3·4번까지 해결한 뒤에는 문제 번호가 작다는 이유로 빠른 풀이를 기대하기 어렵습니다. 5번부터 인수 구성, 그래프의 기울기, 함수 사이의 관계식 해석이 이어집니다.

5~16번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 특히 11~14번은 미분계수의 정의, 미분 항등식, 곱의 미분법, 경계에서의 미분가능성을 연달아 다룹니다. 계산이 막히면 같은 전개를 반복하기보다 어떤 정의를 쓸지 다시 확인하세요.

서술·단답형에서는 17·18·21번이 보통, 19·20번이 어려움입니다. 객관식 중간 구간에서 오래 머물기보다 서술형 전체를 미리 살펴 접근 가능한 문항을 확보하는 편이 좋습니다. 난이도 분류는 풀이 순서를 계획하는 참고 기준입니다.

출제 단원 — 극한과 미분을 연결하는 구조

함수의 극한과 미분계수와 도함수가 같은 비중입니다. 함수의 극한에서는 인수분해와 유리화뿐 아니라 부등식의 대소 관계, 평행이동, 교점 개수까지 다룹니다. 극한식을 보고 곧바로 대입하기보다 분모의 상태와 함수의 구조부터 확인해야 합니다.

미분 단원은 도함수를 구하는 계산보다 미분계수의 의미를 읽는 문제가 눈에 띕니다. 8·11·13번은 극한 조건을 함수의 값과 미분계수에 대한 정보로 바꾸어야 합니다. 같은 개념이라도 입력 변수가 이동하거나 변화량이 달라지면 보정이 필요합니다.

함수의 연속은 문항 수만 보면 비중이 작지만, 19·20번은 도형이나 교점 개수 해석이 선행됩니다. 연속 조건을 아는 것만으로는 부족하고 먼저 어떤 구간에서 함수의 값이 바뀌는지 찾아야 합니다. 기본 연속 조건에서 출발해 개수 함수로 확장하는 학습이 적절합니다.

문항별 정리

아래 난이도는 모두 자동 분류 기준입니다. 문항별로 풀이의 출발점과 확인할 조건을 요약했습니다.

작년 시험과 비교 — 구성은 같고 어려움 구간은 앞당겨짐

작년과 올해 모두 수학II이며 총 문항 수와 서술·단답형 구성은 같습니다. 다만 자동 분류 기준 어려움은 작년보다 늘고 쉬움은 줄었습니다. 작년 어려움은 11~16번과 21·22번에 있었지만, 올해는 5번부터 시작해 객관식 중간 구간 전체로 이어집니다.

함수의 극한은 작년과 같은 비중이고 함수의 연속도 같습니다. 미분계수와 도함수는 작년 7문항에서 올해 9문항으로 늘었으며, 작년에 있었던 도함수의 활용 2문항은 올해 단원 분류에 없습니다. 따라서 단원 이름만 보고 모든 미분 유형이 늘었다고 해석하기보다 미분계수와 정의를 중심으로 준비하는 편이 적절합니다.

서술·단답형의 어려움 위치도 작년 21번에서 올해 19·20번으로 달라졌습니다. 작년의 번호별 체감에 맞춰 시간을 배정하기보다 매 시험에서 접근 가능한 문항을 다시 골라야 합니다. 기본 계산을 확보한 뒤 극한의 존재 조건과 그래프 해석을 묶어 연습하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

세 문항의 공통점은 조건을 구간이나 경우로 나눈 뒤 경계에서 다시 검증해야 한다는 점입니다. 이용자 투표로 난이도 순위가 확인된 것은 아니며, 여기서는 해석과 검증 단계가 겹치는 분석상 고난도 문항으로 선정했습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음에는 1~4번에서 기본 조건을 정확히 처리하고, 5번 이후에는 풀이 방향이 보이는 문항부터 해결하세요. 인수를 어떻게 잡을지 떠오르지 않거나 그래프의 구간 구분이 서지 않으면 표시하고 넘어가세요. 마지막 22번까지 구성을 살핀 뒤 되돌아갈 순서를 정하는 방식이 좋습니다.

서술·단답형은 시작 전에 별도 시간을 남겨 두세요. 17·18·21번은 자동 분류 기준 보통이므로 앞의 객관식 어려움 구간보다 먼저 검토할 가치가 있습니다. 계산 결과만 적기보다 좌우 극한을 나눈 이유, 항등식을 미분한 이유처럼 판단 근거를 짧게 쓰는 연습을 하세요.

검토에서는 4번의 열린 끝점, 11번의 입력 변화량, 14번의 연속 조건, 15번의 이동 방향과 분모의 예외를 우선 확인하세요. 19·20번은 경계에서의 함숫값을, 21번은 절댓값 내부의 좌우 부호를 따로 확인해야 합니다. 계산을 다시 하는 것보다 빠진 조건을 찾는 검토가 유용합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 기본 조건부터 정리하세요. 점의 좌표와 접선의 기울기, 구간별 연속 조건을 서로 다른 식으로 세우는 연습을 합니다(1·2·4번 대비).
2. 극한의 기본 변형을 묶어 연습하세요. 유리화, 무한대에서의 차수 비교, 최대정수함수의 좌우 구간 구분을 풀이 시작 전에 결정합니다(3·10·17번 대비).
3. 극한의 존재에서 인수를 찾아내세요. 함수의 영점과 중복도에 따라 후보를 나누고 분모의 예외를 검증합니다(5·9·15·22번 대비).
4. 미분계수의 정의로 돌아가는 연습을 하세요. 기준 함수값을 더하고 빼며 입력 변화량과 분모를 맞춘 뒤 곱의 미분법으로 연결합니다(8·11·13번 대비).
5. 미분과 다항식 조건을 연결하세요. 항등식의 계수 비교, 나머지 결정, 경계에서의 연속과 미분가능성을 단계별로 적습니다(12·14·18·21번 대비).
6. 그래프와 개수 함수를 연습하세요. 기울기 비교와 절댓값 변형에서 시작해 도형·판별식으로 경계를 찾고 함수값 표를 작성합니다(6·16·19·20번 대비).