잠일고등학교
2023년 2학년 2학기 기말고사

잠일고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

잠일고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이 회차의 출제 단원은 부정적분, 정적분, 정적분의 활용, 도함수의 활용, 미분계수와 도함수입니다. 적분 계산과 넓이·운동의 해석뿐 아니라 함수의 그래프, 미분의 정의까지 연결해서 준비해야 합니다.

초반에는 다항함수의 적분, 닫힌구간의 최대·최소처럼 풀이 방향이 비교적 분명한 문항이 배치돼 있습니다. 그러나 후반에는 접선의 개수를 실근 개수로 바꾸거나, 미분가능 조건으로 조각함수의 관계를 정한 뒤 적분하는 문항이 나옵니다. 같은 단원의 문제라도 조건을 번역하는 단계가 추가되면 풀이 부담이 달라집니다.

서술·단답형은 17번부터 시작하며, 18번을 제외하면 자동 분류 기준 어려움입니다. 식을 얻는 근거와 후보를 제외하는 이유까지 정리하는 습관이 필요합니다. 객관식 후반에서 막혔더라도 서술·단답형 전체를 한꺼번에 미루지 말고, 접근 가능한 문항을 먼저 찾아야 합니다.

난이도 분포 — 후반에 이어지는 조건 해석

쉬움 구간에서는 적분의 기본 성질을 정확히 적용하는 것이 우선입니다. 특히 2번은 적분 구간의 양 끝이 같아지는 대입을, 7번은 상수 구간의 정적분을 하나의 상수로 놓는 방법을 확인합니다. 쉬움이라는 분류가 조건 확인을 생략해도 된다는 뜻은 아닙니다.

보통 문항은 기본 계산에 해석이 붙습니다. 5·6·8번에서는 증가·감소와 최대·최소를 조건으로 연결하고, 10번에서는 절댓값 때문에 함수식과 위아래 관계가 달라지는 구간을 구별합니다. 18번은 적분함수를 새로 정의해 극한을 미분계수로 읽는 접근이 필요합니다.

어려움 구간은 서로 다른 개념을 이어 쓰는 문항이 많습니다. 11번의 접선과 실근, 14번의 역함수와 대칭, 16번의 미분가능성과 정적분이 그 예입니다. 난이도는 자동 분류 기준이므로 개인의 체감과 다를 수 있으며, 분류만 보고 풀 수 있는 문제를 포기하지 마세요.

출제 단원 — 정적분과 도함수의 활용이 중심

정적분은 직접 계산하는 문항에서 적분을 포함한 등식, 극한, 조각함수로 확장됩니다. 2·7번을 익힌 뒤 17·18·20번으로 넘어가면, 적분식이 어떤 때 상수이고 어떤 때 변수에 대한 함수인지 구별하는 연습을 할 수 있습니다. 단원명이 같아도 모두 같은 방식으로 미분해서는 안 됩니다.

도함수의 활용에서는 최대·최소뿐 아니라 접선 개수, 운동 방향, 실근의 부호가 함께 다뤄집니다. 정적분의 활용에서는 넓이의 부호와 운동에서의 위치·거리를 구별해야 합니다. 부정적분의 기본기를 다진 다음, 그래프에서 조건을 읽고 적분식을 세우는 학습으로 연결하는 것이 좋습니다.

문항별 정리

각 문항의 핵심 접근과 확인할 조건을 정리했습니다. 아래 난이도 표시는 모두 자동 분류 기준입니다.

작년 시험과 비교 — 같은 문항 수에서 달라진 후반 부담

작년과 올해 모두 수학II이며 총 문항 수는 같습니다. 자동 분류 기준 쉬움은 같지만 보통은 줄고 어려움은 늘었습니다. 서술·단답형도 늘어, 계산 결과뿐 아니라 풀이를 정리할 시간을 확보하는 연습이 더 필요해졌다고 해석할 수 있습니다.

작년에는 도함수의활용이 가장 많았지만 올해는 정적분이 함께 중심에 놓였습니다. 정적분은 작년 4문항에서 올해 7문항으로 늘었고, 도함수의활용은 9문항에서 7문항으로 줄었습니다. 미분 활용만 집중하기보다 적분식의 대입·미분과 구간 분할까지 함께 준비해야 합니다.

작년 어려움은 4·7번에도 있었고 서술·단답형에서는 22번에 해당했습니다. 올해는 9번부터 나타나 후반에 이어지며, 서술·단답형의 17·19·20·21·22번이 어려움입니다. 이 차이는 실제 응시자의 성적 비교가 아니라 자동 분류와 배치의 비교이며, 다음 준비에서는 후반 문항을 남겨 둔 상태로 답안을 쓰는 연습이 필요합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 계산을 시작하기 전에 전체 구조를 확정해야 한다는 공통점이 있습니다. 대칭성, 접합 조건, 다항식이라는 전제를 풀이 첫머리에 적고 그 전제가 계산 범위를 어떻게 줄이는지 설명해 보세요. 이용자 투표로 확인된 순위가 아닌 분석상 고난도 문항 선정입니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

초반의 적분 계산과 최대·최소 문항을 정확히 정리해 후반에 쓸 시간을 확보하세요. 9번에서 해석이 막히면 표시하고 10번을 확인하는 식으로 진행할 수 있습니다. 어려움이 이어지는 구간에서도 풀이의 첫 관계식이 떠오르는 문항을 우선하면 한 문제에 시간을 모두 쓰는 일을 줄일 수 있습니다.

서술·단답형을 시작할 시간은 별도로 남겨 두세요. 18번은 자동 분류 기준 보통이므로 후반이라는 이유만으로 미룰 필요가 없습니다. 17번의 적분 분리, 20번의 항등식, 22번의 차분몫처럼 출발점이 뚜렷한 문항은 그 식부터 적고, 이어질 조건을 정리하세요.

검산에서는 계산을 반복하기보다 조건을 다시 읽으세요. 13번은 속도의 부호가 실제로 바뀌는지, 16번은 적분의 위끝과 아래끝 순서가 맞는지, 21번은 속도와 속력을 구별했고 출발 시각을 제외했는지 확인해야 합니다. 넓이와 운동 문항에서는 부호 있는 적분과 양의 크기를 따로 표시해 두면 실수를 찾기 쉽습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 다항식의 적분과 식 정리를 먼저 다지세요. 통분·인수분해 후 적분하고, 경계값 대입과 적분상수 결정을 확인하세요(1·3·4번 대비).
2. 최대·최소를 조건으로 옮기는 연습을 하세요. 도함수의 부호표에 양 끝의 함수값을 함께 기록하고 항상 성립하는 부등식으로 연결하세요(5·6·8번 대비).
3. 적분 등식의 유형을 구별하세요. 상수 구간인지 변수 구간인지 먼저 적고, 대입과 미분을 조합해 조건을 얻으세요(2·7·17·18번 대비).
4. 그래프의 교점과 부호를 읽으세요. 접선 개수, 방향 전환, 실근의 부호를 각각 그래프의 어떤 성질로 판정하는지 설명하세요(11·13·19번 대비).
5. 넓이와 운동을 함께 복습하세요. 구간별 부호를 표시하고 넓이·변위·이동 거리·두 점 사이 거리를 구별해 식을 세우세요(10·12·15·21번 대비).
6. 조건이 겹치는 서술형을 마무리하세요. 대칭성, 접합 조건, 항등식의 경우, 도함수의 정의를 먼저 적고 누락된 조건이 없는지 점검하세요(14·16·20·22번 대비).