잠일고등학교
2022년 2학년 2학기 중간고사

잠일고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

잠일고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 단원은 함수의극한, 함수의연속, 미분계수와도함수, 도함수의활용, 합성함수와역함수입니다. 극한과 연속의 기본 개념에 미분의 정의와 접선, 증가 조건을 연결해 준비해야 하는 시험입니다.

초반에는 인수분해와 유리화, 극한의 대소 관계처럼 접근법이 비교적 분명한 문제가 나옵니다. 이후 주기함수의 연결 지점, 정수 부분이 바뀌는 지점, 구간별 함수의 경계처럼 식이 달라지는 상황을 다룹니다. 같은 대입 계산이라도 어느 구간의 식을 써야 하는지 먼저 판단하는 능력이 중요합니다.

후반에는 극한 조건으로 인수의 구조를 추론하거나 그래프의 연산 결과를 판정하는 문제가 배치되어 있습니다. 서술·단답형은 교점 개수의 변화, 사잇값 정리, 외부 점에서 그은 접선, 전체 구간의 증가 조건으로 이어집니다. 계산 결과뿐 아니라 그 계산을 적용할 수 있는 이유를 짧게 설명하는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 객관식 후반과 서술·단답형 앞부분의 조건 해석

쉬움 문항은 극한의 기본 계산과 곱의 미분법, 평균값 정리, 미분계수 형태의 극한에 걸쳐 있습니다. 특히 2번은 수렴과 발산을 구별하고 4번은 부등식을 변형하는 과정에서 부호를 확인해야 합니다. 자동 분류 기준 쉬움이라도 개념 확인을 건너뛰면 부호나 접근 방향에서 실수할 수 있습니다.

보통 문항에서는 조건을 풀이 가능한 형태로 바꾸는 단계가 추가됩니다. 6번은 주기적으로 이어지는 경계, 7번은 정수의 좌우에서 달라지는 식, 11번은 연속 조건과 미분계수 일치를 함께 확인합니다. 21·22번도 보통이므로 서술·단답형이라는 이유만으로 마지막까지 미루기보다는 풀이의 출발점을 먼저 찾아보세요.

어려움 문항은 단순한 계산량보다 조건을 결합하는 부담이 두드러집니다. 13·17번은 극한과 인수 구조를, 14·15번은 함수의 성질과 도함수 해석을 연결합니다. 난이도는 자동 분류 기준이며 개인의 체감과 다를 수 있으므로, 연습에서는 막힌 이유가 계산인지 조건 해석인지 나누어 기록하는 편이 좋습니다.

출제 단원 — 극한을 중심으로 연속과 미분을 연결

함수의극한은 기본형과 추론형을 함께 준비해야 합니다. 1·3번에서는 식을 정리해 부정형을 해소하고, 5번에서는 주어진 극한을 다른 식에 활용합니다. 13·17번으로 가면 극한값이 존재한다는 사실에서 분자의 소멸 조건과 인수의 중복도를 읽어야 하므로, 단순히 약분하는 문제만 반복해서는 충분하지 않습니다.

미분계수와도함수는 공식 적용부터 정의를 이용한 항등식 해석까지 이어집니다. 14번은 이 단원으로 분류되어 있지만 연속과 합성함수의 판단도 포함합니다. 함수의연속 역시 연결점 계산에 그치지 않고 교점 개수를 나타내는 함수와 실근의 존재를 다루므로, 표의 단원명과 실제 풀이에 쓰이는 개념을 함께 살펴보세요.

도함수의활용에서는 평균값 정리, 접선, 증가 조건이 확인됩니다. 16번은 구간별 함수의 연속 조건을 얻은 뒤 역함수 존재 여부를 판단합니다. 연속이면 역함수가 존재한다고 넘어가지 말고, 각 부분의 증가 방향과 치역이 겹치는지까지 확인하는 연습을 하세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

위 문항은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 풀이 구조를 바탕으로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 계산에 앞서 조건을 분류하고, 계산 뒤에는 얻은 후보가 다른 조건과 충돌하지 않는지 확인해야 합니다. 조건을 사용한 위치를 표시하면서 복습하면 풀이가 길어진 원인을 찾기 쉽습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 극한 계산과 미분 공식처럼 출발점이 보이는 문항을 먼저 확보하세요. 13~15번에서 풀이가 길어지면 표시해 두고 16·18번과 서술·단답형의 21·22번을 살펴보는 운영이 가능합니다. 번호 순서만 따라가며 후반의 접근 가능한 문항을 보지 못하는 상황을 줄여야 합니다.

서술·단답형은 계산 전에 판단 기준을 적어 두세요. 19번은 구간 조건과 교점 중복, 20번은 연속성과 부호가 다른 내부 지점, 21번은 접점에서의 접선, 22번은 전체 구간의 도함수 부호가 출발점입니다. 연습할 때 조건을 해석하는 데 걸린 시간과 실제 계산 시간을 나누어 기록하면 보완할 부분이 드러납니다.

검토에서는 경계와 방향을 우선 확인하세요. 6·7번은 반복 경계와 정수의 좌우, 11·14번은 함수값과 극한값 및 좌우 기울기, 18번은 절댓값 안의 부호가 중요합니다. 20번은 극한식의 분모 부호가 함수값의 부호에 미치는 영향을, 22번은 경계의 매개변수를 제외할 이유가 실제로 있는지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 인수분해·유리화·극한의 대소 관계를 복습하세요. 식을 변형하기 전에 부정형과 부호를 확인하는 순서를 익히세요(1·2·3·4·5번 대비).
2. 좌극한과 우극한을 구간별로 쓰는 연습을 하세요. 주기함수의 이음매, 정수 부분의 변화, 절댓값의 부호를 나누어 정리하세요(6·7·18번 대비).
3. 미분계수의 정의와 미분 공식을 연결하세요. 입력 변화량이 다른 극한을 표준 형태로 바꾸고 연속 조건과 미분가능 조건을 구분하세요(8·10·11·14번 대비).
4. 극한 조건을 다항식의 인수 조건으로 옮기세요. 몫과 나머지의 차수, 약분 뒤 남은 조건, 인수의 중복도를 점검하세요(13·17번 대비).
5. 그래프의 대칭·증가·교점 변화를 식과 함께 정리하세요. 도함수의 그래프와 원래 함수의 그래프를 구별하고 구간의 경계를 표시하세요(15·16·19·22번 대비).
6. 정리의 적용 근거와 접선 조건을 문장으로 써 보세요. 평균값 정리와 사잇값 정리의 가정을 확인하고 접점을 미지수로 놓는 풀이를 연습하세요(9·12·20·21번 대비).