잠실고등학교
2025년 2학년 2학기 중간고사

잠실고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

잠실고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이 시험의 출제 단원은 함수의극한, 함수의연속, 미분계수와도함수입니다. 그래프에서 극한값을 읽는 기본형부터 다항함수의 결정, 미분계수의 정의를 이용한 극한 계산까지 이어집니다.

초반에는 평균변화율과 미분 공식처럼 익숙한 계산을 확인하지만, 뒤로 갈수록 주어진 조건을 다른 표현으로 바꾸어야 합니다. 나머지 조건을 함수값과 미분계수로, 실근의 개수를 수평선과 그래프의 교점으로 바꾸는 식입니다. 계산을 시작할 형태를 선택하는 능력이 중요합니다.

연속 단원도 단순한 경계값 맞추기에 그치지 않습니다. 절댓값을 씌운 함수, 대칭 이동한 함수의 합과 차, 곱으로 만든 함수의 연속성을 따로 판단합니다. 원래 함수의 성질이 변형된 함수에 그대로 이어진다고 생각하지 말고, 각 함수의 좌우극한과 함수값을 새로 확인하세요.

난이도 분포 — 11번 이후 이어지는 조건 해석

쉬움 문항은 1·2·3·5번입니다. 그래프의 극한과 함수값 구별, 연속함수의 연산, 평균변화율, 거듭제곱 함수의 미분이 중심입니다. 기본형에서도 분모가 사라지는 지점과 함수가 정의되는 범위를 놓치면 판단이 달라지므로 조건 확인을 습관화하세요.

보통 문항은 4·6·8·9·10번입니다. 부등식으로 극한을 좁히거나 실제 상황의 시간 범위를 적용하고, 평균변화율과 순간변화율을 연결합니다. 특히 10번에서는 사잇값 정리가 보장하는 결론과 단지 가능해 보이는 결론을 구별해야 합니다.

7번 이후 8~10번은 보통으로 돌아오지만, 11~21번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 후반에는 치환, 인수분해, 경우 구분이 연속해서 필요합니다. 분류가 실제 체감 난도를 확정하지는 않으므로 번호 순서에 매달리기보다 접근이 보이는 문항을 먼저 처리하는 연습이 좋습니다.

출제 단원 — 극한을 중심으로 연속과 미분 연결

함수의극한은 그래프 읽기와 극한의 대소 관계에서 출발해 다항식의 인수 조건, 도형의 길이, 교점 개수 함수로 확장됩니다. 13~16번에서는 식을 곧바로 계산하기보다 함수가 어떤 구조를 갖는지 정리하는 단계가 중요합니다. 18·20·21번에서도 같은 단원의 서로 다른 접근을 요구합니다.

미분계수와도함수는 평균변화율의 기본 의미와 미분 공식을 바탕으로 합니다. 7번은 나머지 조건을 미분계수로 옮기고, 11번은 입력의 변화량을 맞추며, 19번은 극한 조건을 곱의 미분법까지 연결합니다. 공식 암기와 함께 미분계수의 정의로 식을 되돌리는 훈련이 필요합니다.

함수의연속은 2·9·10·12·17번입니다. 항등식으로 주어진 함수의 빈 지점을 연속으로 채우는 유형과, 그래프 변형 뒤 불연속점의 개수를 판단하는 유형을 함께 준비하세요. 단원별 복습을 마친 뒤에는 극한의 존재와 함수값의 일치를 구별하는 문제로 연결해 보는 것이 좋습니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 같은 문항 수에서 늘어난 어려움

작년과 올해 모두 수학II이며 총 21문항입니다. 서술·단답형은 작년 19·20번에서 올해 18~20번으로 늘었습니다. 자동 분류 기준 어려움은 작년 9문항에서 올해 12문항으로 늘고, 쉬움은 5문항에서 4문항, 보통은 7문항에서 5문항으로 줄었습니다.

가장 많이 나온 단원은 두 해 모두 함수의극한입니다. 작년 8문항에서 올해 9문항이 되었고, 미분계수와도함수는 7문항으로 같으며 함수의연속은 6문항에서 5문항이 되었습니다. 극한을 우선 복습하되 연속과 미분의 기본 논리를 함께 연결하는 준비가 필요합니다.

작년에는 10번에서 어려움이 처음 나타나고 11·12·15번에 보통이 끼어 있었습니다. 올해는 7번에서 먼저 나타나며 11~21번에 이어집니다. 후반을 순서대로 모두 해결하려 하기보다 기본형 확보 후 조건 처리 문항을 다시 보는 운영을 연습하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 정한 순위가 아니라 풀이 구조를 바탕으로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 식 하나를 정리한 뒤 그래프나 경우 구분으로 돌아가야 합니다. 계산 결과만 적기보다 경계와 예외를 구분한 이유를 짧게 설명하는 연습이 효과적입니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 그래프 읽기와 기본 계산을 확보하세요. 7번에서 나머지와 미분의 연결이 바로 보이지 않으면 표시하고 8~10번을 확인하는 편이 좋습니다. 후반에는 어려움이 이어지므로 모든 문항을 같은 시간 동안 붙잡기보다, 출발 조건을 정리할 수 있는 문항부터 다시 접근하세요.

서술·단답형 18~20번은 자동 분류 기준 모두 어려움이지만 접근법은 다릅니다. 18번은 길이 관계, 19번은 미분계수의 정의, 20번은 다항식의 차수와 계수 조건을 먼저 적어 보세요. 마지막 21번이 객관식이라는 구성도 기억하고, 전체 문항을 훑는 연습으로 뒤쪽 문제를 남겨 두는 시간을 확보하세요.

검토에서는 계산보다 조건의 누락을 우선 보세요. 6·8번의 입력 범위, 10번의 연속성과 부호 변화, 13·14번의 약분 조건, 16·17번의 경계값이 주요 점검 대상입니다. 21번은 매개량이 사라지는 예외를 따로 표시하고, 좌우극한과 함수값을 같은 것으로 취급하지 않았는지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 그래프의 좌극한·우극한·함수값을 구별하고, 분수 함수의 정의역을 먼저 확인하세요. 점의 채움 여부와 분모 조건을 따로 표시하는 연습부터 시작하세요(1·2·12번 대비).
2. 평균변화율과 미분계수의 의미를 복습하세요. 실제 상황에서는 입력의 범위와 변화율의 부호를 함께 확인하세요(3·5·6·8번 대비).
3. 연속성과 극한의 대소 관계를 이용한 논증을 연습하세요. 사잇값 정리가 보장하는 결론을 쓰고, 보장되지 않는 결론은 반례로 점검하세요(4·9·10번 대비).
4. 극한식을 미분계수의 정의로 바꾸어 보세요. 나머지 항등식, 변수 치환, 역수 형태를 각각 정리한 뒤 곱의 미분으로 연결하세요(7·11·19번 대비).
5. 인수분해로 함수의 구조를 결정하는 유형을 연습하세요. 평행이동, 항등식, 최댓값·최솟값, 다항식의 차수 조건을 차례로 결합하세요(13·14·15·20번 대비).
6. 그래프의 경계와 예외를 분리해 기록하세요. 교점 개수와 대칭성, 유리화 뒤의 인수 조건을 검토하고 도형은 길이를 같은 변수로 바꾸어 보세요(16·17·18·21번 대비).