창덕여자고등학교
2022년 2학년 2학기 중간고사

창덕여자고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

창덕여자고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 범위는 함수의 극한과 연속, 미분계수와 도함수, 도함수의 활용입니다. 극한 계산에서 출발해 미분가능성의 판단과 접선, 롤의 정리와 평균값 정리까지 연결됩니다.

같은 극한 문제라도 식을 정리하는 방식이 다릅니다. 부등식으로 함수를 제한하는 문항, 정수 부분을 포함해 좌우에서 식이 달라지는 문항, 무리식을 유리화한 뒤 차수를 비교하는 문항이 함께 있습니다. 외운 계산 순서를 적용하기보다 주어진 조건이 어떤 형태의 극한을 보장하는지 읽어야 합니다.

미분에서도 공식 계산만으로 끝나지 않습니다. 그래프의 기울기를 읽거나 항등식을 미분하고, 증분을 넣어 미분계수의 정의를 만드는 과정이 나옵니다. 서술·단답형에서는 계산 결과와 함께 그 식을 사용할 수 있는 이유를 정리하는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 초반의 어려움과 후반의 개념 판단

자동 분류 기준 쉬움은 9·11·21번입니다. 평균변화율과 미분계수의 관계, 미분계수로 표현되는 극한, 롤의 정리와 평균값 정리가 해당합니다. 계산이 비교적 짧아도 함수의 값과 도함수의 값, 닫힌구간과 열린구간을 구별해야 안정적으로 처리할 수 있습니다.

보통 문항은 시험 전반에 분포합니다. 1~4번의 연속·극한 해석에서 8번의 주기함수, 10~15번의 미분 관련 계산, 17~20번의 서술·단답형으로 이어집니다. 기본 공식에 조건 해석이 더해지므로 풀이의 첫 줄을 빠르게 정하는 연습이 효과적입니다.

자동 분류 기준 어려움인 5·6·7번은 각각 그래프의 이동과 곱, 유리화 이후 차수 비교, 다항식의 차수와 인수 구조를 다룹니다. 16번은 명제가 성립하는 이유와 반례를, 22번은 함수 관계식에서 미분계수를 이끌어 내는 논리를 요구합니다. 번호가 뒤로 갈수록 일괄적으로 어려워지는 구성은 아닙니다.

출제 단원 — 미분의 정의와 극한 해석을 함께 준비

가장 많은 미분계수와도함수는 정의를 이용한 극한, 곱의 미분법, 항등식의 미분, 그래프의 기울기 해석으로 나뉩니다. 9·11번의 기본 계산을 익힌 뒤 10번의 식 분해, 13번의 나머지 조건, 22번의 증분 관계로 확장하는 순서가 좋습니다.

함수의극한에서는 무조건 대입하기보다 극한의 형태를 먼저 확인해야 합니다. 6번은 유리화 뒤 남는 항의 차수, 7번은 무한대에서의 차수와 특정 지점의 인수 중복도, 18번은 발산 방향과 부호가 중요합니다. 19번처럼 도형의 길이를 먼저 표현해야 극한 계산에 들어갈 수 있는 유형도 있습니다.

함수의연속은 경계에서 좌극한·우극한·함숫값을 비교하는 공통 원리를 활용합니다. 1번에서는 사잇값의 정리를 교점 개수와 연결하며, 5·8번에서는 곱이나 절댓값을 취한 함수의 연속을 살핍니다. 도함수의활용은 20번의 접선과 21번의 정리 적용을 통해 기울기의 의미를 확인합니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 풀이에 필요한 조건 변환과 논리의 연결을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 자동 분류 기준 어려움에 속하지만 이용자 투표로 확인된 난도 순위를 뜻하지는 않습니다. 공통적으로 계산 전에 식의 구조를 정리하고, 얻은 후보나 관계를 원래 조건에 다시 대조해야 합니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 접근법이 보이는 문항을 먼저 해결하세요. 5·6·7번에서 오래 멈추면 뒤의 9·11번과 서술·단답형 21번까지 확인할 시간이 줄어들 수 있습니다. 경우 분류의 기준이 잡히지 않는 문항은 표시하고 넘어간 뒤, 전체를 한 번 살핀 다음 돌아오는 연습을 권합니다.

서술·단답형에는 계산에 앞선 근거를 남겨 두세요. 17번에서는 약분이 가능한 범위와 연속으로 보완할 지점을, 18번에서는 영점 주변의 부호를 먼저 적는 것이 좋습니다. 20번은 접점의 좌표를 미지수로 놓고 접선이 외부의 점을 지난다는 조건을 세우며, 21번은 정리의 가정과 구간 조건을 함께 확인하세요.

마지막 검토에서는 부호와 논리 방향을 우선 살피세요. 4·5번은 입력이 어느 쪽에서 다가가는지, 6·15번은 분모와 남은 항이 어떤 값으로 가는지 확인해야 합니다. 16번에서는 연속성과 미분가능성의 관계를 거꾸로 적용하지 않았는지, 22번에서는 미분계수의 정의에 맞는 차분을 구성했는지 되짚어 보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 좌극한·우극한·함숫값을 나란히 적는 연습부터 하세요. 정수 부분을 포함한 함수와 이동된 그래프에서도 입력의 접근 방향을 표시하세요(4·5번 대비).
2. 연속 조건을 식으로 바꾸는 유형을 묶어 복습하세요. 곱, 주기, 절댓값이 더해졌을 때도 경계에서 비교할 대상을 먼저 찾으세요(3·8·17번 대비).
3. 극한식은 대입 가능 여부를 확인한 뒤 유리화와 인수분해를 선택하세요. 남는 항의 차수와 계수 소거에 따른 경우를 표로 정리하세요(2·6·15번 대비).
4. 다항식의 차수와 영점의 중복도를 극한으로 읽는 연습을 하세요. 부호가 유지되는지 바뀌는지 간단한 그래프와 함께 확인하세요(7·18번 대비).
5. 미분계수의 정의로 차분을 분해하는 연습을 하세요. 기본 변화율 계산에서 시작해 대칭 입력과 함수 관계식으로 확장하세요(9·10·11·22번 대비).
6. 기울기 해석과 정리의 가정을 함께 점검하세요. 접선 조건을 식으로 쓰고, 연속·미분가능성에 관한 명제는 반례까지 검토하세요(12·14·16·20·21번 대비).