잠일고등학교
2025년 2학년 2학기 기말고사

잠일고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

잠일고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료의 출제 단원은 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용입니다. 미분으로 함수의 성질을 판단하는 문제와 적분으로 넓이나 누적량을 해석하는 문제를 함께 준비해야 합니다.

도함수의 부호를 표에 옮기는 것에서 끝나지 않고 그 결과를 다른 조건에 연결하는 문제가 눈에 띕니다. 접선의 개수를 방정식의 실근 개수로, 극값의 개수를 도함수의 부호 변화로 바꾸어야 합니다. 절댓값이 있거나 구간이 이동하면 식을 쓰기 전에 그래프의 어느 부분을 보는지 정해야 합니다.

적분에서도 단순 계산만으로 해결되지 않는 문항이 있습니다. 합성함수가 포함된 항등식의 차수를 비교하거나, 거리 조건으로 만든 함수의 대소를 나눈 뒤 적분하는 방식입니다. 서술·단답형에서는 계산 결과와 함께 구간을 나눈 이유, 극값이 생기는 이유까지 정리하는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 초반부터 이어지는 조건 해석

쉬움인 1·2번은 정적분을 상수로 놓는 처리와 평균값정리의 관계를 확인합니다. 보통인 5·8·17·22번도 속도 그래프의 부호, 조각별 함수의 극값, 넓이의 구간 분할을 정확히 읽어야 합니다. 기본 계산에 익숙하더라도 조건을 생략하지 않는 것이 중요합니다.

어려움은 객관식 후반에만 모여 있지 않습니다. 3·4번에서 먼저 등장하고 6·7번을 거쳐 9~16번까지 이어집니다. 앞 문항에서 풀이 방향이 잡히지 않으면 표시해 두고 다른 문항을 확인해야 뒤의 접근 가능한 문제를 놓치지 않습니다.

서술·단답형에서는 17번이 보통이고 18~21번이 어려움입니다. 난이도는 자동 분류 기준이므로 개별 학생의 체감과 같다고 단정할 수 없습니다. 예를 들어 그림자 변화율은 닮음 관계를 정확히 세우면 계산을 정리할 수 있으므로, 분류만 보고 풀이를 포기할 필요는 없습니다.

출제 단원 — 도함수의 활용에 집중된 구성

도함수의활용은 변화율, 증가·감소, 접선, 극값과 실근 개수까지 폭넓게 다룹니다. 특히 7·15·16·19번에서는 접하거나 근이 겹치는 상황을 별도로 검사해야 합니다. 도함수가 사라지는 지점만 구하는 연습보다 그 좌우에서 부호가 어떻게 달라지는지 설명하는 연습을 우선하세요.

정적분의활용에서는 5번의 운동 해석, 14번의 평행이동된 그래프, 17번의 넓이와 접선 조건, 22번의 넓이 최소화가 확인됩니다. 같은 단원 안에서도 접근법이 다르므로 넓이 공식 하나로 묶어 외우기 어렵습니다. 정적분 값과 넓이, 위치 변화와 이동 거리를 구별하는 것이 공통 기반입니다.

정적분의 10·20번과 부정적분의 6번은 적분 전의 식 구성이 중요합니다. 다항식의 차수와 계수, 거리의 절댓값, 함수의 대소를 먼저 정리해야 합니다. 단원별 문항 수가 적더라도 식을 구성하는 연습까지 제외해서는 안 됩니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 도함수 활용의 비중과 초반 부담 증가

작년과 올해 모두 수학II이며 총 문항 수와 서술·단답형 수는 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 작년 8문항에서 올해 16문항으로 늘었습니다. 작년에는 13번부터 어려움이 등장했지만 올해는 3번부터 등장하므로 초반을 모두 짧은 계산 문제로 예상하는 운영은 맞지 않습니다.

작년에는 정적분과 도함수의활용이 각각 8문항으로 가장 많았습니다. 올해는 도함수의활용이 14문항으로 중심을 이루며 정적분은 3문항입니다. 정적분의활용은 작년 3문항에서 올해 4문항으로 바뀌었으므로 적분을 줄여 공부하기보다 그래프 해석과 결합해 복습하는 편이 좋습니다.

서술·단답형의 위치는 작년 17·18·19·21·22번에서 올해 17~21번으로 바뀌었습니다. 다음 시험 대비에서는 형식과 번호를 고정해 예상하지 말고 전체 문항을 먼저 확인하세요. 도함수의 부호표를 실근·접선·극값 조건에 연결하는 연습을 충분히 확보할 필요가 있습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 조건 처리 과정을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 후보를 얻은 뒤에도 중복과 경계를 다시 검사해야 한다는 점입니다. 인수분해나 판별식 계산이 끝났을 때 원래의 접선·교점·극값 조건으로 돌아가 확인하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1·2번을 확인한 뒤 풀이 구조가 바로 보이는 문항을 확보하세요. 3·4번에서 막혔다고 이후를 모두 미루지 말고 5·8번과 서술·단답형의 17번도 살펴보세요. 자료상 객관식인 22번도 별도로 확인해 마지막 번호라는 이유로 남겨 두지 않는 것이 좋습니다.

15·16·19번처럼 후보를 분류하는 문제는 계산 전에 경우를 나누는 기준을 적어 두세요. 같은 인수분해를 반복하기보다 후보 옆에 중근, 부호 변화, 교점 조건의 충족 여부를 표시하면 재검토가 쉬워집니다. 서술·단답형에는 관계식과 근거를 정리할 시간을 남겨 두세요.

검토할 때는 5번의 위치와 이동 거리, 18번의 그림자 길이와 끝점 위치를 구별하세요. 13번은 이동 구간 안의 극소점, 20번은 두 거리의 대소가 바뀌는 경계, 21번은 도함수가 사라지는 경계 조건을 확인해야 합니다. 넓이 문제는 적분값의 부호를 그대로 넓이로 사용하지 않았는지 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 정적분을 상수로 두는 처리와 평균값정리의 등식을 먼저 복습하세요. 변수와 상수를 구별하는 이유를 설명해 보세요(1·2번 대비).
2. 속도 그래프와 닮음 관계를 시간에 관한 식으로 옮기세요. 길이·위치·이동 거리·변화율의 뜻을 나누어 적어 보세요(3·5·18번 대비).
3. 도함수의 부호표를 그리고 절댓값이나 조각별 정의가 있는 경계를 함께 표시하세요. 증가·감소와 극값의 조건을 연결하세요(4·8·12·21번 대비).
4. 접선 조건을 접점의 입력에 대한 방정식으로 바꾸세요. 중근과 추가 실근이 의미하는 것을 그래프로 확인하세요(7·9·15·17번 대비).
5. 다항식의 차수와 인수 구조를 먼저 보는 연습을 하세요. 계수 비교와 적분상수까지 점검한 뒤 중근의 부호 변화를 검토하세요(6·10·11·16·19번 대비).
6. 이동 구간의 끝점 비교와 구간별 적분을 연습하세요. 그래프를 나누는 기준을 쓴 뒤 최솟값이나 넓이를 계산하세요(13·14·20·22번 대비).