잠일고등학교
2024년 2학년 2학기 중간고사

잠일고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

잠일고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 함수의극한, 함수의연속, 미분계수와도함수, 도함수의활용입니다. 그래프에서 극한을 읽는 기본형부터 연속 조건과 구간별 미분가능성을 해석하는 문제까지 이어집니다.

초반에는 인수분해, 극한의 성질, 미분 공식처럼 접근법이 분명한 문제가 놓여 있습니다. 후반에는 같은 개념이 다항식의 계수 결정이나 실근의 위치, 매개변수의 범위와 결합됩니다. 공식을 아는 것에 더해 주어진 조건을 어느 단계에서 사용해야 하는지 구분하는 능력이 필요합니다.

서술·단답형의 접선, 극소, 유리화 문제도 놓치지 않아야 합니다. 앞선 객관식의 조건 처리가 길어지더라도 뒤에 있는 기본형을 확인할 여지가 있습니다. 풀이의 시작은 조건 해석으로, 마무리는 구간과 부호의 검토로 나누어 연습하면 시험 구성을 효율적으로 활용할 수 있습니다.

난이도 분포 — 초반 기본형과 후반 조건 결합

자동 분류 기준 쉬움은 1~8번과 18·19번입니다. 초반에는 그래프의 좌우극한, 유리식의 약분, 미분 공식 등 기본 개념을 정확히 적용하는지가 중요합니다. 18번은 도함수의 부호 변화, 19번은 유리화가 출발점이므로 서술·단답형이라는 이유로 뒤로 미룰 필요는 없습니다.

보통인 9·10·17·20번은 계산 전에 조건의 역할을 정리해야 합니다. 무한대에서의 극한으로 차수를 제한하거나, 사잇값의 정리로 근이 존재하는 구간을 찾거나, 접선의 기울기로 접점을 결정하는 유형입니다. 단순 대입에서 한 단계 더 나아가는 연결 연습이 필요합니다.

어려움으로 분류된 11~16번에서는 절댓값, 인수의 중복, 역함수, 정의역 조건 등이 결합됩니다. 21·22번은 경계에 따른 경우 구분이 핵심입니다. 이 분포는 자동 분류 기준이며, 실제 풀이에서는 익숙한 개념과 조건 정리의 숙련도에 따라 체감 부담이 달라질 수 있습니다.

출제 단원 — 극한을 중심으로 연속과 미분을 연결

함수의극한은 기본 계산에서 조건 해석으로 확장됩니다. 2번의 인수분해와 19번의 유리화를 익힌 뒤, 9번의 차수 결정과 12번의 인수 중복을 연습하는 흐름이 좋습니다. 14번은 역함수 위의 점을 원래 함수의 좌표 관계로 옮겨야 하므로, 극한 계산 앞에 기하적 해석이 놓입니다.

미분계수와도함수에서는 평균변화율과 순간변화율의 구별이 출발점입니다. 8·13번은 극한식을 미분계수의 정의와 대조해야 하고, 16번은 평균변화율로 만든 함수의 성질을 활용합니다. 22번에서는 구간 경계와 절댓값의 꺾임을 따로 살펴야 합니다.

함수의연속은 단순히 좌우극한을 맞추는 유형에 한정되지 않습니다. 10·20번은 사잇값의 정리로 근의 존재와 위치를 따지고, 15·21번은 함수가 정의되는 조건과 불연속 지점을 처리합니다. 도함수의활용인 17·18번은 접선과 극소의 기본 절차를 점검하는 데 적합합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 기본형과 어려움 문항이 함께 증가

작년과 올해 모두 수학II 자료입니다. 자동 분류 기준 쉬움은 5문항에서 10문항으로, 어려움은 5문항에서 8문항으로 늘었고 보통은 11문항에서 4문항으로 줄었습니다. 어려움의 증가만으로 전체 체감 난도를 단정하기보다, 기본형을 확보한 뒤 조건이 복잡한 문제에 시간을 배정하는 구성이 두드러졌다고 해석할 수 있습니다.

함수의극한은 작년 8문항, 올해 9문항으로 모두 가장 많습니다. 미분계수와도함수는 4문항에서 7문항으로 늘었고, 도함수의활용은 6문항에서 2문항으로 줄었습니다. 따라서 접선과 극값만 집중하기보다 미분계수의 정의와 평균변화율을 해석하는 연습도 충분히 해야 합니다.

작년의 자동 분류 기준 어려움은 12·14·15·16·19번에 있었고, 올해는 11~16번과 21·22번에 있습니다. 올해는 객관식 중후반에 연속해서 배치된 뒤 마지막 부분에도 등장합니다. 다음 시험 대비에서는 기본형의 정확도를 높이는 연습과 여러 조건을 순서대로 정리하는 연습을 함께 진행하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확정한 순위가 아니라 조건 처리 과정을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산 중간에 얻은 식을 원래 조건으로 되돌려 확인해야 한다는 점입니다. 약분 뒤 남은 분모, 교점의 적용 구간, 미분가능성을 조사할 위치를 각각 따로 표시해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~8번의 기본 계산을 정확하게 처리하고 전체 문항을 훑어보세요. 11~16번에서 조건 정리가 오래 걸리면 표시한 뒤 서술·단답형의 17~20번도 확인하는 편이 좋습니다. 특정 형식을 모두 마친 뒤 다음 형식으로 넘어가겠다는 운영은 접근 가능한 문제를 늦게 발견하게 할 수 있습니다.

조건을 해석할 때에는 극한의 존재와 연속, 미분가능성을 구분하세요. 11번은 절댓값 때문에 좌우극한을 나누어야 하고, 15번은 연속에 앞서 함수가 정의되는지를 확인해야 합니다. 22번은 연속성만으로 미분가능성을 결론 내리지 말고 좌우미분계수까지 비교하세요.

마지막 검토는 경계와 부호에 집중하세요. 10·20번의 근 존재 구간은 열린구간인지 확인하고, 13번은 차분몫의 입력 방향을 점검하세요. 18번은 도함수가 사라지는 사실에 부호 변화가 더해져야 하며, 21번은 구간 경계의 포함 여부가 교점 개수에 반영되었는지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 그래프의 좌우극한, 인수분해, 유리화를 복습하세요. 극한의 모양에 따라 변형 방법을 먼저 고르는 연습을 하세요(1·2·3·7·19번 대비).
2. 평균변화율과 미분계수의 정의를 나란히 정리하세요. 차분몫에서 기준점과 입력의 방향을 확인한 뒤 도함수로 옮기세요(4·5·6·8·13번 대비).
3. 극한 조건으로 다항식의 차수와 인수를 결정하세요. 약분 뒤 남은 인수와 중복 여부까지 점검하는 습관을 들이세요(9·11·12번 대비).
4. 사잇값의 정리에서 보장되는 근과 추가로 가능한 근을 구별하세요. 부호표와 열린구간을 이용해 후보를 검토하세요(10·15·20번 대비).
5. 좌표 관계와 함수의 성질을 식으로 바꾸세요. 역함수의 좌표 교환과 이차함수의 대칭을 각각 설명해 보세요(14·16번 대비).
6. 접점 결정과 극소 판정의 기본 절차를 익힌 뒤 구간별 조건 처리로 확장하세요. 구간 경계와 절댓값의 변화점을 표시하고 좌우를 비교하세요(17·18·21·22번 대비).