잠일고등학교
2023년 2학년 2학기 중간고사

잠일고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

잠일고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 범위는 함수의 극한과 연속, 미분계수와 도함수, 도함수의 활용입니다. 극한 계산의 기본형뿐 아니라 도형과 실생활 상황을 식으로 바꾸는 문제도 포함됩니다.

초반에는 인수분해, 극한의 대소 관계, 그래프의 좌우극한, 미분 공식처럼 접근 방향이 비교적 분명한 문제가 배치되어 있습니다. 이후에는 극한이 존재할 조건으로 인수를 찾거나, 절댓값의 경계를 기준으로 도함수의 부호를 해석해야 합니다. 공식을 아는 데서 그치지 않고 적용할 구간을 선택하는 능력이 필요합니다.

서술·단답형이 마지막에 연속해서 모여 있지는 않습니다. 17·18번 뒤에 객관식 19번이 있고, 20·21번은 풀이와 논리 정리가 중요합니다. 객관식 후반의 긴 문제에 시간을 모두 쓰기보다 전체 형식을 먼저 확인하고 접근 가능한 문항을 확보하는 운영이 좋습니다.

난이도 분포 — 후반 도함수 활용의 조건 해석

쉬움은 1~5번에 모여 있습니다. 계산량을 늘리기보다 약분 가능한 인수, 접근 방향, 곱의 미분법에서 남겨야 할 항을 정확히 확인하는 구간입니다. 여기서 부호나 대입 실수를 줄이면 후반의 조건 해석에 시간을 사용할 수 있습니다.

보통은 6~11번과 13번, 서술·단답형 17·18·20·21번입니다. 특히 11번은 주기적으로 이어지는 함수의 경계 연속성을 확인해야 하고, 21번은 정리의 가정과 결론을 문장으로 연결해야 합니다. 보통이라는 분류가 단순 계산만으로 끝난다는 뜻은 아닙니다.

어려움은 12번부터 등장하며 14~16번과 19번으로 이어집니다. 절댓값에 따른 증가 조건, 극한으로 다항식을 결정하는 구조, 매개변수에 따른 극값, 접선과 곡선의 관계가 주요 부담입니다. 난이도는 자동 분류 기준이므로 실제 체감 난도와 구별해 활용하세요.

출제 단원 — 극한의 비중과 도함수 활용의 부담

함수의극한은 1·3·4·6·10·14·18·20번으로 가장 넓게 분포합니다. 유리식의 약분에서 시작해 소금물의 농도, 반원의 현과 넓이, 무리식의 유리화까지 표현 방식이 다양합니다. 계산 전에 어떤 양이 변하고 무엇을 극한으로 보내는지 먼저 구분하세요.

도함수의활용은 8·12·13·15·16·19번이며, 그중 12·15·16·19번이 어려움입니다. 도함수를 구한 뒤 부호를 판단하는 기본 원리가 매개변수와 절댓값, 접선 조건에 결합됩니다. 접선 문제에서는 접점을 문자로 놓는 단계와 실제 교점을 세는 단계를 구별해야 합니다.

미분계수와도함수는 미분 공식뿐 아니라 절댓값 함수의 미분가능성과 항등식으로 연결됩니다. 함수의연속에서는 한 점의 연결, 주기적 연결, 사잇값의 정리가 다뤄집니다. 연속과 미분가능성을 같은 조건으로 처리하지 않는 것이 두 단원을 공부할 때의 출발점입니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 극한 비중 유지와 활용 단원 확대

작년과 올해 모두 수학II입니다. 총 문항은 22문항에서 21문항으로 줄었고 서술·단답은 4문항으로 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 6문항에서 5문항으로, 쉬움은 7문항에서 5문항으로 줄고 보통은 9문항에서 11문항으로 늘었습니다. 어려움 개수만으로 시험 전체가 쉬워졌다고 단정하기보다 중간 구간의 조건 처리 부담을 함께 보아야 합니다.

함수의극한은 두 해 모두 8문항으로 가장 많습니다. 도함수의활용은 4문항에서 6문항으로 늘었고, 미분계수와도함수는 5문항에서 4문항, 함수의연속은 4문항에서 3문항으로 줄었습니다. 극한의 기본기를 유지하면서 도함수를 그래프와 접선 상황에 적용하는 연습을 넓히는 편이 좋습니다.

작년의 어려움은 13·14·15·17·19·20번에 있었고, 올해는 12·14·15·16·19번입니다. 작년에는 서술·단답형 19·20번에도 어려움이 있었지만 올해의 어려움은 모두 객관식입니다. 형식만 보고 풀이 순서를 고정하지 말고 문제의 구조를 확인해 시간을 배분하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 조건 처리의 복잡성을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산 결과를 얻은 뒤 적용 구간과 제외 조건을 다시 확인해야 한다는 것입니다. 풀이 첫머리에 구간을 표시하면 이후의 부호 판단과 후보 검토가 분명해집니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~5번의 기본 계산을 정확히 처리하고 6~11번의 출발 조건을 빠르게 확인하세요. 12번에서 구간 판단이 길어지면 표시하고 13번이나 서술·단답형을 살펴보세요. 14~16번을 모두 끝낸 뒤에야 뒤쪽을 보겠다는 방식은 접근 가능한 문항을 남길 수 있습니다.

서술·단답형의 요구 형식도 구별하세요. 17·18번은 필요한 결과를 빠짐없이 정리하고, 20번은 유리화와 인수 조건의 연결을 풀이로 남기세요. 21번은 정리의 가정, 연속성, 부호 변화, 내부의 근 존재를 순서대로 적는 연습이 필요합니다. 계산이 짧아도 논리의 연결을 생략하지 마세요.

마지막 검토에서는 4번의 접근 방향, 9번의 좌우미분계수, 11번의 주기적 경계를 우선 확인하세요. 15번은 매개변수가 다가가는 방향에 맞는 극점을 골랐는지, 18번은 넓이의 높이를 정확히 정했는지 점검하세요. 19번은 접점 제외를, 21번은 서로 다른 근임을 설명했는지 확인하는 것이 좋습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 유리식의 약분과 그래프의 좌우극한을 먼저 정리하세요. 극한값과 함숫값을 구분하고 극한의 대소 관계도 설명해 보세요(1·3·4·6번 대비).
2. 연속 조건과 미분가능 조건을 비교하세요. 한 점의 연결에서 출발해 절댓값의 좌우미분계수와 주기적 경계로 확장하세요(7·9·11번 대비).
3. 미분 공식과 계수 비교를 연결하세요. 곱의 미분에서 각 항을 남기고, 항등식에서는 모든 차수의 계수 조건을 정리하세요(2·5·17번 대비).
4. 극점의 순서와 도함수의 부호표를 함께 그리세요. 매개변수의 범위와 절댓값 경계가 바뀔 때 적용 구간을 먼저 표시하세요(8·12·15번 대비).
5. 접점의 좌표를 문자로 놓아 접선을 구성하세요. 절편 조건에서 시작해 곡선과 접선의 차, 접점 이외의 교점 해석으로 확장하세요(13·16·19번 대비).
6. 문장과 도형을 극한식으로 옮기고 유리화와 인수의 중복을 검토하세요. 실근 존재를 설명할 때는 연속성과 부호 조건을 문장으로 남기세요(10·14·18·20·21번 대비).