서울예술고등학교
2025년 2학년 2학기 중간고사

서울예술고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

서울예술고등학교는 서울 종로구에 있습니다. 이번 시험에서 확인되는 출제 범위는 함수의 극한과 연속, 미분계수와 도함수, 접선을 이용한 도함수의 활용입니다. 전체가 객관식이지만 조건을 해석하고 근거를 세우는 과정은 별도로 연습할 필요가 있습니다.

초반에는 인수분해와 유리화, 곱의 미분법, 접선의 기울기처럼 접근 방법이 비교적 분명한 문항이 이어집니다. 이 구간에서는 풀이를 복잡하게 늘리기보다 부호와 대입 조건을 확인하며 계산을 마무리하는 것이 중요합니다.

후반에는 극한 조건으로 다항식의 형태를 정하거나 불연속을 없애는 조건을 찾는 문항이 나타납니다. 단원 이름만 보고 계산 공식을 고르기보다, 각 조건이 함수의 근·중근·차수 중 무엇을 제한하는지 설명할 수 있어야 합니다.

난이도 분포 — 기본 계산 이후에 모인 조건 해석

자동 분류 기준 쉬움 문항은 초반에 주로 배치되어 있습니다. 다만 3번은 미정계수 결정, 11번은 발산하는 함수 사이의 비율을 다루므로 번호 순서만으로 풀이 시간을 예상하지 않는 편이 좋습니다. 15번의 평균변화율까지 기본 개념을 안정적으로 처리하면 후반을 검토할 여유를 만들 수 있습니다.

16번에서 조건을 이용한 다항식 결정이 등장하고, 18~22번에서는 명제 판정·다항식의 정수계수·교점 개수 등 서로 다른 판단이 이어집니다. 17번은 보통 문항이므로 어려운 구간 안에서도 해결 가능한 문제를 골라 진행하세요.

23·24번은 자동 분류 기준 보통이지만 보기의 주장을 검증해야 합니다. 반례와 정리의 가정을 따지는 시간이 필요하므로, 뒤쪽 문항을 단순 계산 문제처럼 급하게 처리하지 않도록 마지막 확인 시간을 남겨 두세요.

출제 단원 — 함수의 극한을 중심으로 연속과 미분 연결

함수의극한이 가장 많습니다. 초반의 약분·유리화뿐 아니라 14번의 합성함수, 16·19·20번의 다항식 결정까지 포함됩니다. 같은 극한 단원이어도 계산 연습만으로는 후반에 대응하기 어렵고, 극한의 존재가 분자나 계수에 어떤 조건을 주는지까지 익혀야 합니다.

미분계수와도함수에서는 정의를 이용한 극한 변형, 구간별 함수의 미분가능성, 접선과 평균변화율이 나옵니다. 함수의연속에서는 21·22번이 어려움으로 분류되어 있습니다. 연속의 정의를 읽는 수준에서 나아가 불연속점과 실근 위치를 추적하는 연습이 필요합니다.

도함수의활용으로 분류된 17번은 접선과 좌표축이 만드는 도형을 다룹니다. 단원 비중이 작더라도 접점의 좌표를 문자로 두고 접선을 세우는 과정은 10번과 연결해 연습할 만합니다. 공식과 그래프 해석을 함께 다루는 것이 효율적입니다.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 서울 지역의 같은 수학II 시험

서울 지역에서 같은 2025학년도 2학년 2학기 중간고사 수학II를 치른 학교들과 견주면, 이웃 학교의 평균 문항 수는 21.3문항, 서술·단답은 평균 3.7문항입니다. 서울예술고는 24문항 전체가 객관식이므로, 답안 서술 분량보다는 문항 전반의 조건을 빠르게 확인하는 연습이 필요합니다.

자동 분류 기준 어려움 비율은 이웃 학교 평균 41%에 비해 이 시험이 25%이며, 11개교 중 11위입니다. 이는 어려움 분류의 비율을 비교한 결과입니다. 서울예술고의 19~22번처럼 여러 조건을 연결하는 문제는 별도로 충분히 연습해야 합니다.

서울경신고등학교·대원외국어고등학교 등은 이 시험과 마찬가지로 함수의극한이 가장 많습니다. 양정고등학교는 함수의연속, 반포고등학교·상문고등학교는 미분계수와도함수, 충암고등학교는 도함수의활용이 중심입니다. 서울예술고 학생은 극한의 기본 계산을 우선 완성한 뒤 연속과 미분으로 이어지는 조건 해석을 보강하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 모두 계산 전에 조건을 다른 표현으로 바꾸는 과정이 필요합니다. 부등식은 판별식으로, 그래프는 교점 개수로, 반복 구조는 기본 구간으로 옮겨 적어 보세요. 풀이가 막히면 계산을 늘리기보다 아직 사용하지 않은 조건부터 확인하는 것이 좋습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음에는 인수분해·유리화·기본 미분처럼 풀이 방향이 보이는 문항을 처리하세요. 16번 이후에 풀이가 정체되면 표시해 두고 17·23·24번까지 살펴보는 편이 좋습니다. 번호가 뒤라는 이유로 모두 어려울 것이라 예상하지 마세요.

조건 해석 문항으로 돌아왔을 때는 곧바로 긴 식을 전개하지 말고 필요한 관계를 먼저 정리하세요. 16번의 근과 중복 인수, 20번의 정수계수와 인수 배분, 22번의 근 위치처럼 조건별 역할을 짧게 적어 두면 같은 계산을 반복하는 일을 줄일 수 있습니다.

검토할 때는 4번의 음의 방향과 제곱근 부호, 8번의 변화량 배율, 9·18번의 연속과 미분가능성 구별을 우선 확인하세요. 14·21번은 경계의 함숫값과 한쪽 극한, 23·24번은 정리가 요구하는 가정을 점검하면 놓치기 쉬운 논리 오류를 찾는 데 도움이 됩니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 극한 계산의 기본 정리 — 인수분해·유리화·대소 관계를 구별하고 부호 조건을 확인하세요(1·2·4·7번 대비).
2. 극한의 존재와 계수 조건 — 분자가 만족해야 할 조건을 먼저 적고, 약분 후 극한을 이용해 다항식을 정하세요(3·13·16·20번 대비).
3. 미분계수의 정의와 계산 — 입력 변화량을 맞춘 극한을 만들고 곱의 미분법으로 연결하세요(6·8·12번 대비).
4. 연속과 미분가능성 — 좌극한·우극한·함숫값을 확인한 뒤 좌우 미분계수를 비교하고 반례도 만들어 보세요(5·9·18·23번 대비).
5. 접선과 평균변화율 — 접점을 문자로 놓는 연습과 할선·접선의 기울기를 비교하는 연습을 이어 하세요(10·15·17·24번 대비).
6. 그래프와 복합 조건 — 접근 방향, 교점 개수, 근 위치, 전 구간 부등식을 그림과 조건표로 정리하세요(14·19·21·22번 대비).