잠일고등학교
2022년 2학년 2학기 기말고사

잠일고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

잠일고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용입니다. 함수의 증가와 감소에서 시작해 적분으로 정의한 함수와 접선으로 둘러싸인 넓이까지 다룹니다.

미분과 적분의 계산법을 각각 외우는 것만으로는 부족합니다. 운동에서는 위치·속도·가속도의 관계를 읽어야 하고, 함수에서는 도함수나 피적분함수의 부호를 그래프의 변화와 연결해야 합니다. 같은 계산도 무엇을 구하는지에 따라 해석이 달라집니다.

서술·단답형에는 극값 조건에 따른 계수 결정, 도형의 변화율, 정적분의 논증, 넓이의 최솟값이 포함됩니다. 결과를 계산하는 연습과 함께 어떤 조건으로 식을 세웠는지 짧게 설명하는 연습이 필요합니다. 객관식 초반부터 조건 분류가 나타나므로 번호만 보고 풀이 부담을 판단하지 마세요.

난이도 분포 — 초반의 경우 분류와 후반의 조건 결합

자동 분류 기준 쉬움 문항은 부정적분과 정적분의 기본 성질, 속도 그래프의 해석에 해당합니다. 6·8·9·10번은 계산 방향과 부호를 정확히 정하면 풀이를 정리하기 좋습니다. 앞의 4·7번에서 막히더라도 이 구간까지 함께 미루지 않는 것이 좋습니다.

보통 문항에서도 모든 입력에서 성립하는 부등식이나 적분함수의 극값처럼 개념을 바꾸어 읽는 과정이 필요합니다. 특히 12번은 피적분함수의 영점과 부호 변화를 구별해야 하므로, 적분 계산만 반복한 학생에게는 부담이 될 수 있습니다.

어려움 문항은 매개변수에 따른 경우 분류와 서로 다른 조건의 연결이 두드러집니다. 후반의 16~18번은 대칭·극값·계수 비교가 결합되고, 22번은 넓이 계산 뒤 최솟값 판단까지 이어집니다. 분류는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료는 아닙니다.

출제 단원 — 도함수의 활용을 중심으로 미분과 적분 연결

도함수의활용은 실근 개수, 최대·최소, 운동과 변화율로 넓게 출제되어 있습니다. 1번의 증감 해석에서 4번의 구간별 최댓값, 7·17번의 절댓값 그래프까지 연결해 복습하세요. 도함수를 구한 뒤 어떤 대상을 비교할지 정하는 과정이 핵심입니다.

정적분의활용에서는 운동 그래프의 누적 변화와 기하적 넓이가 함께 나타납니다. 10·11번에서는 부호 있는 넓이로 위치를 추적하고, 15·16·22번에서는 실제 넓이를 구하기 위해 구간을 나누어야 합니다. 적분값과 넓이를 같은 것으로 취급하지 않는 훈련이 필요합니다.

부정적분과 정적분도 단순 계산에 그치지 않습니다. 13번은 미분 관계와 다항식의 차수를 결합하고, 18번은 적분 등식에서 함수의 구조를 복원합니다. 21번의 논증을 읽으며 적분상수와 초기 조건의 역할을 정리하면 계산형과 설명형을 함께 대비할 수 있습니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 이용자 투표로 확인된 난도 순위는 아닙니다. 공통적으로 계산을 시작하기 전에 구간이나 함수 사이의 관계를 정리해야 하므로, 식을 많이 전개하기보다 조건을 그림과 표로 먼저 바꾸어 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 전체를 훑으며 출발점이 보이는 문항을 먼저 해결하세요. 4번의 매개변수 분류나 7번의 교점 개수 정리가 길어지면 표시하고 기본 성질을 다루는 6·8·9·10번을 확인하세요. 객관식 후반을 모두 끝낸 뒤에야 서술·단답형을 보려 하지 말고, 19~21번에서 접근 가능한 부분도 찾아 두세요.

서술·단답형의 풀이 시간은 계산보다 조건을 식으로 바꾸는 데서 늘어날 수 있습니다. 19번은 극값 조건과 함수값 조건을 구분해 적고, 20번은 목표 선분을 시간의 함수로 나타내세요. 21번은 논증의 연결을 확인하며 읽고, 22번은 접선의 교점과 적분 구간을 먼저 표시해 계산의 방향을 정하세요.

검토할 때에는 계산을 전부 반복하기보다 빠지기 쉬운 조건을 확인하세요. 2번은 시각의 범위, 4번은 극대점의 구간 포함 여부, 11번은 위치와 원점에서의 거리의 차이가 중요합니다. 12·17·18번에서는 도함수가 사라지는지와 부호가 바뀌는지를 구별하고, 14번에서는 구간 이동에 따른 함수값의 변화가 반영됐는지 살피세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 미분과 부정적분의 관계, 적분상수의 처리, 정적분 구간의 연결을 복습하세요. 계산 전에 어느 방향의 연산이 필요한지 말해 보세요(6·8·9번 대비).
2. 증감표를 이용해 실근 개수와 최대·최소를 판단하세요. 매개변수가 있으면 극점이 정의역 안에 있는 경우부터 나누세요(1·3·4·5·19번 대비).
3. 위치·속도·가속도와 거리의 차이를 정리하세요. 속도 그래프에서 부호 있는 넓이를 누적하는 연습과 도형의 길이를 시간으로 표현하는 연습을 연결하세요(2·10·11·20번 대비).
4. 절댓값 그래프와 적분함수의 극값을 부호 변화로 설명하세요. 영점과 극점이 항상 같은 것은 아니라는 점을 사례로 확인하세요(7·12·17번 대비).
5. 적분 관계식을 미분하고 다항식의 차수와 계수를 비교하세요. 얻은 함수가 원래 적분 조건도 만족하는지 확인하는 단계를 포함하세요(13·18·21번 대비).
6. 구간 이동에 따른 적분 보정과 넓이의 구간 분할을 연습하세요. 대칭을 쓰는 경우에도 경계와 위아래 관계를 그림에 표시하세요(14·15·16번 대비).
7. 접선으로 둘러싸인 넓이에서 최소화 조건까지 연결하세요. 적분으로 넓이를 나타내는 단계와 제약 조건에서 간격을 비교하는 단계를 나누어 설명하세요(22번 대비).