잠일고등학교
2024년 2학년 2학기 기말고사

잠일고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

잠일고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 등록 자료에서 확인되는 출제 범위는 미분계수와 도함수, 도함수의 활용, 부정적분, 정적분과 그 활용입니다. 적분 단원만 따로 계산하기보다 미분으로 함수의 성질을 읽는 과정이 함께 요구됩니다.

초반에는 부정적분과 미분의 관계, 정적분의 구간 정리, 넓이의 부호 같은 기본 개념을 점검합니다. 중반에는 적분으로 정의한 함수와 최대·최소가 나오고, 후반에는 조건을 매개변수의 범위나 실근 개수로 바꾸는 문항이 이어집니다.

서술·단답형도 모두 같은 성격은 아닙니다. 17번은 기본 계산과 대칭성, 18번은 닫힌구간의 최대·최소를 다루지만 19·21·22번은 치역, 증가 조건, 넓이 비교를 설명해야 합니다. 앞에서 확보한 시간을 후반의 조건 확인과 답안 작성에 배분하는 운영이 필요합니다.

난이도 분포 — 후반에 모인 어려움 문항

자동 분류 기준의 쉬움 문항은 1~5번과 7·17번입니다. 적분상수 결정, 정적분의 성질, 부호에 따른 넓이 계산처럼 접근법이 비교적 직접적이므로, 이 구간에서 풀이를 간결하게 쓰는 연습이 유효합니다.

보통 문항에서는 계산 전에 해석할 단계가 늘어납니다. 8번은 적분 안팎의 변수를 구분해야 하고, 10번은 도함수가 영이 되는 점과 극값을 갖는 점을 구별해야 합니다. 12·18번은 최대·최소를 구할 때 변수 범위와 끝점을 함께 살핍니다.

13~16번에 이어 19~22번이 자동 분류 기준 어려움입니다. 번호가 뒤로 갈수록 무조건 어려워지는 배열은 아니므로 17·18번을 먼저 확보할 여지가 있습니다. 어려움 문항에서는 긴 전개보다 어느 조건으로 경우를 나눌지 결정하는 과정이 부담을 만듭니다.

출제 단원 — 정적분과 도함수의 활용이 중심

정적분은 기본 성질부터 적분으로 정의한 함수의 치역까지 폭이 넓습니다. 2·3번을 안정적으로 풀어도 8·10·19번을 바로 해결할 수 있는 것은 아닙니다. 적분식의 미분과 피적분함수의 부호 해석을 별도로 연습해야 합니다.

도함수의활용에서는 13·15·16·20·21번이 자동 분류 기준 어려움으로 묶입니다. 감소구간의 존재, 매개변수에 따른 최댓값, 실근 개수, 모든 실수에서의 부등식처럼 도함수의 부호를 다른 조건으로 번역하는 능력이 중요합니다.

정적분의활용은 넓이와 운동을 모두 포함합니다. 5번의 넓이 부호, 9번의 위치와 속력 구별을 먼저 익힌 뒤 22번의 곡선과 선분 사이 넓이로 확장하세요. 부정적분과 미분계수 문항도 이후 조건 해석의 바탕이므로 함께 정리하는 편이 좋습니다.

문항별 정리

아래 난이도는 자동 분류 기준입니다. 문항 내용은 등록된 개념·해설 글·수식을 함께 확인해 풀이의 출발점과 주의할 조건을 요약했습니다.

작년 시험과 비교 — 어려움 비중은 줄고 중심 단원은 유지

작년과 올해 모두 수학II이며 총 문항 수는 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 작년 12문항에서 올해 8문항으로 줄었고, 쉬움은 4문항에서 7문항으로 늘었습니다. 서술·단답형도 6문항에서 5문항으로 줄었지만, 분류만으로 실제 체감 난도를 단정할 수는 없습니다.

가장 많은 단원은 두 해 모두 정적분과 도함수의활용입니다. 두 단원은 작년 각각 7문항에서 올해 각각 8문항이 됐고, 정적분의활용은 5문항에서 3문항으로 줄었습니다. 부정적분과 미분계수와도함수의 문항 수는 유지돼, 대비의 중심은 적분식 해석과 도함수의 활용에 두는 편이 합리적입니다.

작년에는 9번부터 어려움이 등장하고 서술·단답형의 첫 문항인 17번도 어려움이었습니다. 올해는 어려움이 13번부터 시작하며 17번은 쉬움, 18번은 보통입니다. 다음 시험 준비에서는 기본 문항의 정확도를 먼저 높이고, 후반 조건 해석을 묶어 연습하되 올해의 배열이 반복된다고 가정하지 마세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 순위가 확인된 것이 아니라 풀이 구조를 바탕으로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산 결과만으로 끝나지 않고, 구간의 경계나 존재 조건을 마지막까지 검토해야 한다는 점입니다. 풀이를 쓸 때 적용 범위와 결론의 연결을 문장으로 남겨 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~5번과 7번의 기본 개념 문항을 안정적으로 처리하고, 6·8~12번에서 접근법이 보이지 않는 문항은 표시해 두세요. 13~16번에서 오래 막히면 뒤의 17·18번을 확인해 풀 수 있는 문항부터 마무리하는 편이 좋습니다.

서술·단답형을 작성할 시간을 따로 남기세요. 18번은 임계점과 양 끝값의 비교, 19번은 치역 끝값의 포함 여부, 21번은 구간 존재의 근거가 드러나도록 적는 연습이 필요합니다. 총 시험 시간과 배점 자료는 없으므로, 고정된 분량을 정하기보다 모의 풀이에서 조건 정리와 계산에 걸린 시간을 구분해 점검하세요.

검산에서는 적분구간의 방향, 절댓값을 푸는 구간, 모든 실수라는 조건을 먼저 확인하세요. 9번에서는 속도와 속력을, 10번에서는 접점과 부호가 바뀌는 교점을, 20번에서는 자연수 범위의 끝점 포함 여부를 구분해야 합니다. 22번은 넓이의 차를 어떤 순서로 구하는지 마지막에 다시 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 미분과 적분의 기본 관계부터 정리하세요. 적분상수, 기준점 대입, 적분구간의 합과 차를 말로 설명하고 계산하는 연습이 출발점입니다(1·2·3·4·6번 대비).
2. 부호와 대칭성으로 적분을 간단히 하세요. 절댓값의 구간 분할, 홀함수·짝함수 성질, 위치와 속력의 차이를 구별하세요(5·9·11·17번 대비).
3. 닫힌구간의 최대·최소를 정리하세요. 도형의 변수 범위를 설정한 뒤 임계점과 끝값을 비교하고, 매개변수의 부호 조건을 함께 적용하세요(7·12·18번 대비).
4. 적분으로 정의한 함수를 미분해 그래프를 읽으세요. 적분식 안팎의 변수 구별부터 시작해 부호 변화와 치역의 끝값 포함 여부까지 연결하세요(8·10·19번 대비).
5. 매개변수 조건을 경우별로 정리하세요. 절댓값 경계, 극한의 분모, 임계점의 위치를 기준으로 나눈 범위가 실제 조건과 맞는지 확인하세요(13·14·15번 대비).
6. 존재 조건과 모든 실수 조건을 구별하세요. 실근 개수는 공통근을 점검하고, 부등식은 최대·최소로, 증가구간의 존재는 부호표로 옮기는 연습을 하세요(16·20·21번 대비).
7. 항등식에서 함수를 복원한 뒤 넓이를 정리하세요. 교점에서 위아래 관계를 나누고 넓이의 합이나 차를 적분식으로 결합할 수 있는지 검토하세요(22번 대비).