잠실고등학교
2022년 2학년 2학기 중간고사

잠실고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

잠실고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이 시험 자료에서 확인되는 범위는 함수의 극한, 함수의 연속, 미분계수와 도함수입니다. 무리식의 극한과 그래프 읽기부터 구간별 함수의 미분가능성까지, 정의를 계산과 판단에 연결하는 시험입니다.

초반에는 유리화와 극한의 성질처럼 익숙한 출발점이 있지만, 이어지는 문항에서는 같은 개념을 다른 표현에서 찾아야 합니다. 그래프를 변형했을 때의 연속성, 항등식에서 얻는 도함수, 무한대로 가는 변수 안에 숨은 미분계수 등이 이에 해당합니다.

후반의 부담은 식의 길이보다 구간을 나누고 조건을 적용하는 데 있습니다. 이동 구간의 최댓값, 반복해서 이어 붙인 함수, 실근 개수로 정의한 함수는 원래 함수와 새로 정의한 함수를 구별해야 합니다. 먼저 새 함수가 무엇을 출력하는지 말로 설명한 뒤 풀이를 시작하세요.

난이도 분포 — 후반 객관식의 조건 해석

쉬움 문항은 유리화, 그래프의 극한값, 극한의 성질, 평균변화율과 순간변화율을 다룹니다. 이 구간에서는 새로운 기법보다 기본 정의의 정확성이 중요합니다. 특히 그래프에서 표시된 함숫값과 접근할 때의 높이를 구별하고, 변화량을 나누는 기준을 빠뜨리지 않아야 합니다.

보통 문항은 연속성을 판정하거나 주어진 조건을 다른 형태로 바꾸는 과정이 필요합니다. 6번은 도형을 직선의 방정식으로, 11번은 극한을 다항식의 구조로, 13번은 합의 각 항을 미분계수로 옮깁니다. 계산에 앞서 어떤 정의를 사용할지 정하는 연습이 효과적입니다.

14~17번에는 구간별 미분가능성과 연속 조건의 결합이 이어지고, 20번은 실근 개수의 변화를 해석합니다. 이 난이도는 자동 분류 기준이며 실제 체감과 일치한다고 단정할 수 없습니다. 서술·단답형도 번호 위치만으로 어렵다고 판단하지 말고 필요한 근거를 확인하세요.

출제 단원 — 미분과 극한을 연결하는 연습

가장 많은 미분계수와도함수는 기본 변화율부터 항등식, 극한의 변형, 구간 경계의 판단까지 이어집니다. 미분 공식을 적용하는 문제만 반복하기보다 차분몫을 알아보는 훈련과 좌우 미분계수를 비교하는 훈련을 함께 해야 합니다. 14·15·16번에서는 어떤 식을 미분해야 하는지부터 구분해야 합니다.

함수의극한은 자동 분류 기준 어려움 문항이 없지만 접근법은 다양합니다. 무리식은 유리화하고, 도형 조건은 좌표식으로 바꾸며, 부등식은 대소 관계로 극한을 제한합니다. 특히 18번은 함수 자체의 극한과 함수의 비의 극한을 구별해야 하므로 단순 대입만으로 처리하기 어렵습니다.

함수의연속에서는 원래 함수가 불연속이어도 변형한 함수가 연속일 수 있다는 점이 중요합니다. 3·8번에서 좌극한·우극한·함숫값을 변형한 뒤 비교하는 습관을 익히세요. 이후 17번의 다항식 인수 조건과 20번의 실근 개수 변화로 확장하면 개념 사이의 연결이 보입니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 조건 처리의 복잡성을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 원래 함수에서 새 함수를 정의한다는 데 있습니다. 입력이 바뀔 때 어떤 식이나 어떤 점이 출력을 결정하는지 먼저 정리하면 경우 분류의 기준을 세울 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 극한의 기본 변형과 정의 적용이 바로 보이는 문항을 확보하세요. 14~17번에서 경우를 나누는 작업이 길어지면 표시하고 18·19번을 확인하는 운영이 가능합니다. 실제 제한 시간은 자료에 없으므로 분 단위 목표를 임의로 정하기보다, 연습에서 식을 세우는 시간과 계산 시간을 나누어 기록하세요.

서술·단답형은 결과에 도달한 근거를 짧게 연결하는 연습이 필요합니다. 18번은 부등식을 나눌 수 있는 부호 조건과 대소 관계를, 19번은 극한이 존재하므로 얻는 함숫값 조건과 차분몫 변형을 적으세요. 긴 전개보다 어떤 정리를 어디에 적용했는지가 드러나야 검토도 쉬워집니다.

마지막 점검은 서로 다른 종류의 값을 혼동했는지에 집중하세요. 2·8번은 극한값과 함숫값, 14·16번은 연속 조건과 미분가능 조건을 구별해야 합니다. 15번은 경우의 경계가 빠졌는지, 20번은 경계에서 직접 센 개수를 좌우 극한에 그대로 사용했는지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 유리화와 인수분해로 극한의 형태를 정리하세요. 계산 전에 알려진 극한이 어느 묶음으로 들어 있는지 표시해 보세요(1·4·7번 대비).
2. 그래프의 좌극한·우극한·함숫값을 나란히 적으세요. 곱·제곱·입력 변환을 적용한 뒤에도 같은 비교를 반복하세요(2·3·8번 대비).
3. 도형과 부등식 조건을 계산 가능한 표현으로 바꾸세요. 내분점의 좌표와 직선의 기울기, 부등식을 나눌 때의 부호를 확인하세요(6·18번 대비).
4. 차분몫을 찾는 훈련을 하세요. 평균변화율에서 시작해 항등식과 합의 극한 안에 있는 미분계수로 확장하세요(9·10·11·13·19번 대비).
5. 다항식의 차수와 실근 조건을 먼저 제한하세요. 계수 비교나 판별식을 쓰기 전에 가능한 형태를 설명해 보세요(5·12·17번 대비).
6. 구간별 함수는 경계 목록부터 작성하세요. 이동 구간의 최댓값과 반복 구간의 연결을 정리한 뒤 좌우 미분계수를 비교하세요(14·15·16번 대비).
7. 실근 개수를 그래프의 교점 수로 읽는 연습을 마무리하세요. 매개변수의 부호와 경계 높이의 앞뒤에서 개수가 어떻게 바뀌는지 설명하세요(20번 대비).