보인고등학교
2024년 2학년 2학기 중간고사

보인고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

보인고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 시험의 출제 단원은 함수의 극한과 연속, 미분계수와 도함수, 도함수의 활용입니다. 극한값 계산에서 시작해 접선의 기하적 해석, 연속성과 미분가능성의 조건 판단까지 연결됩니다.

기본 공식을 아는 것과 조건에 맞게 사용하는 것을 함께 확인하는 구성입니다. 접선을 구하는 문항도 접점이 주어진 경우, 곡선 밖의 점을 지나는 경우, 다른 접선과 수직인 경우로 달라집니다. 같은 미분 계산이라도 어떤 점을 미지수로 둘지 먼저 결정해야 합니다.

서술·단답형이 뒤쪽에 섞여 있고, 20번에는 미분계수의 정의를 이용한 증명이 있습니다. 자동 분류 기준 쉬움이라는 이유로 서술 과정을 생략해서는 안 됩니다. 계산 문항과 증명 문항을 구분해 필요한 논리와 답안 작성 시간을 따로 확보하세요.

난이도 분포 — 어려움이 중후반에 분산

자동 분류 기준 쉬움인 1·2번은 극한과 평균변화율의 기본 계산입니다. 16번은 평균값 정리의 적용, 20번은 곱의 미분법 증명이므로 뒤쪽에도 먼저 접근할 수 있는 문항이 있습니다. 단, 증명은 익숙한 결론을 적는 것만으로 완성되지 않습니다.

보통 문항에서도 준비 단계가 필요합니다. 3번은 연속 조건과 좌우 미분계수의 일치를 함께 쓰고, 7번은 사잇값의 정리와 실근의 유일성을 연결합니다. 10번은 도형의 넓이를 함수로 표현한 뒤 극한을 계산하므로 도형 정리가 선행돼야 합니다.

어려움은 8·9·11·12·14·15·17·18·19·21번입니다. 특히 15번의 극한 존재 조건, 18·19번의 교점 개수 변화, 21번의 불연속 가능 지점 분석은 경우 구분이 필요합니다. 이 분류는 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료가 아니라 학습 우선순위를 잡는 참고 기준입니다.

출제 단원 — 극한과 도함수 활용이 공동 최다

함수의극한은 단순한 유리식 계산뿐 아니라 다항식 결정, 도형의 넓이, 교점 개수를 나타내는 함수까지 포괄합니다. 단원 이름만 보고 계산 유형으로 묶으면 준비 범위가 좁아집니다. 극한을 취하는 대상이 원래 함수인지, 새로 정의한 개수 함수인지 먼저 확인하는 연습이 필요합니다.

도함수의활용에서는 접선이 주요 연결 고리입니다. 4·6번의 기본 접선 문제를 익힌 뒤 9번의 원과 삼각형, 12번의 매개변수에 따른 기울기, 14번의 접점 사이 거리로 확장하세요. 함수의연속에서는 정리의 가정 확인과 불연속 지점 추적을 함께 준비하는 것이 좋습니다.

문항별 정리

아래 난이도는 자동 분류 기준입니다. 각 문항의 핵심 접근과 확인할 조건을 정리했습니다.

작년 시험과 비교 — 문항 수는 같고 어려움은 증가

작년과 올해 모두 수학II이며 총 문항 수는 같습니다. 서술·단답형은 줄었지만 자동 분류 기준 어려움은 늘었습니다. 서술형 개수의 감소만 보고 풀이 부담도 작아졌다고 판단하기는 어렵습니다.

작년에는 미분계수와도함수가 가장 많았고, 올해는 함수의극한과 도함수의활용이 공동 최다입니다. 작년의 어려움은 11번부터 나타났지만 올해는 8·9번에도 배치됐습니다. 올해도 뒤쪽에 쉬움 문항이 남아 있으므로 초반의 어려움에 오래 멈추지 않는 운영을 연습하세요.

다음 시험 준비에서는 미분법 기본을 유지하면서 극한의 존재 조건과 접선 활용을 강화하는 편이 좋습니다. 단원별 문항 수 변화가 앞으로의 출제를 보장하지는 않으므로, 올해의 빈도가 높은 유형을 먼저 보완한 뒤 연속성의 정리와 증명까지 마무리하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 순위를 확인한 것이 아니라 조건 해석의 부담을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 일반 경우를 정리한 뒤 예외가 되는 경계나 영점을 다시 확인해야 합니다. 풀이 전 경우표를 만들고 끝난 뒤 빠진 경우를 점검하는 습관이 도움이 됩니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 순회에서는 기본 계산과 풀이 방향이 보이는 문항을 먼저 해결하세요. 8·9번에서 막혀도 뒤의 10·13·16·20번을 확인할 여지를 남기는 편이 좋습니다. 고정된 문항 순서만 따르기보다 조건을 식으로 옮길 수 있는지 판단하고, 진전이 없는 문항은 표시해 두세요.

서술·단답형 16·17·19·20번에는 답안 작성 시간을 남겨야 합니다. 16번은 정리의 가정과 해의 범위, 17번은 인수 조건을 얻는 이유, 19번은 교점 수의 변화, 20번은 정의와 연속성을 사용하는 근거가 핵심입니다. 쉬움으로 분류된 증명도 실제로 문장을 써 보는 연습이 필요합니다.

검토할 때는 8번의 정리 적용 구간, 11번의 모든 꺾임점, 15번의 유리화 후 예외, 18·19번의 경계 교점, 21번의 경계 중첩을 우선 확인하세요. 특히 교점 개수 함수에서는 경계에서의 값과 한쪽에서 접근한 값을 구분해 적어야 합니다. 최종 계산만 반복하기보다 조건을 빠뜨렸는지 먼저 살피세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 기본 계산을 안정시키세요. 유리식의 극한과 평균변화율을 짧은 풀이로 정리하고, 평균값 정리의 적용 조건까지 연결하세요(1·2·16번 대비).
2. 미분가능성과 연속성의 관계를 점검하세요. 구간별 함수의 연결 조건을 세운 뒤 절댓값 함수와의 곱으로 확장하세요(3·11번 대비).
3. 접점이 미지수인 접선을 반복 연습하세요. 접선이 외부 점을 지난다는 조건을 식으로 만들고 기울기 관계와 도형 해석까지 이어 가세요(4·6·9·12·14번 대비).
4. 극한 조건으로 다항식을 결정하세요. 차수 판단, 분모의 영점, 공통인수의 중복도를 구분해 적는 연습을 하세요(13·15·17번 대비).
5. 그래프의 교점 개수를 구간별 표로 만드세요. 판별식과 근의 위치를 함께 확인하고 경계에서의 함숫값과 한쪽 극한을 분리하세요(18·19번 대비).
6. 연속성 정리와 증명을 마무리하세요. 정리의 가정을 적고 반례를 생각하는 연습, 곱의 미분법의 정의에 따른 증명, 불연속 지점 추적을 묶어 복습하세요(7·8·20·21번 대비).