잠실고등학교
2024년 2학년 2학기 기말고사

잠실고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

잠실고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 자료에서 확인되는 범위는 미분계수와 도함수, 도함수의 활용, 부정적분, 정적분, 정적분의 활용입니다. 평균값 정리와 함수 복원에서 출발해 극값, 넓이, 운동 해석을 함께 다룹니다.

도함수나 원시함수를 구하는 것으로 풀이가 끝나지 않는 구성이 특징입니다. 절댓값을 취한 그래프의 극값, 범위가 달라질 때의 최솟값, 함수와 역함수로 둘러싸인 영역처럼 계산 결과를 다시 그림과 조건에 연결해야 합니다. 풀이를 시작할 때 무엇의 부호와 위치를 확인할지 정하는 것이 중요합니다.

서술·단답형이 뒤쪽에 있지만 자동 분류 기준 보통에 해당합니다. 후반 객관식이 길어진다고 이를 함께 미루지 마세요. 운동 문항에서는 위치·속도·가속도의 관계를 짧게 정리하고, 그래프 문항에서는 접하는 점과 가로지르는 점을 구별하는 습관이 도움이 됩니다.

난이도 분포 — 후반 객관식에 집중된 조건 해석

쉬움으로 분류된 1·2번은 평균값 정리와 부정적분의 기본 적용입니다. 3~10번은 보통이지만 적분식을 상수로 처리하기, 절댓값의 부호에 따라 구간 나누기, 도형을 함수로 표현하기 등 출발점이 다양합니다. 기본 계산이 익숙해도 조건을 읽는 시간을 별도로 확보해야 합니다.

11~17번은 자동 분류 기준 어려움이 이어집니다. 최대·최소와 극값을 다루는 문제에서 미분가능성, 정적분의 성질, 역함수 넓이로 전환되므로 같은 방식만 반복해서는 풀기 어렵습니다. 19~21번 역시 매개변수 범위와 그래프 구조를 먼저 정리해야 계산을 줄일 수 있습니다.

이 분포는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도와 일치한다고 단정할 수 없습니다. 다만 후반에서 조건 해석이 길어질 가능성은 확인할 수 있습니다. 연습할 때는 계산에 걸린 시간과 경우를 나누는 기준을 찾는 데 걸린 시간을 구별해 보세요.

출제 단원 — 도함수의 활용과 적분의 해석

도함수의활용은 가장 큰 비중을 차지합니다. 5번의 절댓값 그래프, 8번의 부피 최적화, 11번의 부등식 조건, 12번의 범위에 따른 최솟값처럼 도함수의 부호를 해석하는 대상이 달라집니다. 극점만 찾는 연습에서 나아가 정의역과 비교 대상을 함께 적어야 합니다.

정적분과 정적분의활용에서는 부호와 구간 설정이 공통 과제입니다. 6번은 절댓값 적분, 10번은 이동 거리, 17번은 역함수와 직선이 만드는 넓이입니다. 같은 적분 계산이라도 위아래 함수나 운동 방향이 달라지는 지점을 먼저 찾아야 합니다.

미분계수와도함수의 15·16번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 출제 비중만 보고 이 단원을 뒤로 미루면 절댓값과 구간별 함수의 연결 조건을 놓칠 수 있습니다. 부정적분은 2번에서 직접 다루며, 함수 복원의 아이디어는 12·21번을 이해하는 데에도 연결됩니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 같은 과목에서 늘어난 후반 해석 부담

작년과 올해는 모두 수학II입니다. 자동 분류 기준 어려움은 늘고 쉬움은 줄었습니다. 서술·단답형은 줄었지만 어려움 문항은 객관식에 모여 있으므로, 형식만으로 풀이 부담이 낮아졌다고 해석하기 어렵습니다.

도함수의활용은 작년과 올해 모두 8문항입니다. 정적분의활용은 6문항에서 5문항으로, 정적분은 4문항에서 5문항으로 바뀌었습니다. 올해는 미분계수와도함수의 15·16번도 자동 분류 기준 어려움이므로 극값과 넓이 외에 미분가능성 조건을 별도로 복습해야 합니다.

작년의 어려움은 12~16번과 18~20번이었으며, 올해는 11~17번과 19~21번입니다. 올해는 어려움이 시작되는 위치가 앞당겨졌고 18번은 보통입니다. 다음 시험을 준비할 때는 후반 문제를 순서대로 버티는 연습과 함께 전체 문항에서 먼저 풀 대상을 고르는 연습도 하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

위 문항은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 조건 해석의 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 계산 전에 그래프에서 무엇을 비교하고 세는지 정해야 합니다. 식을 모두 전개하기보다 경계, 높이, 교점을 먼저 표시하는 연습이 효과적입니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 초반 기본형을 정확히 처리하고 후반의 접근 가능한 문제를 확인하세요. 11번 이후 조건 정리가 길어지면 표시하고 18번의 운동 문제도 살펴보세요. 연습할 때는 식을 세우지 못한 문제와 계산만 남은 문제를 구별해 재접근 순서를 정하면 좋습니다.

구간을 나누는 기준은 계산 전에 적으세요. 6번은 함수의 부호, 10번은 속도의 부호, 12번은 최솟값을 결정하는 점, 17번은 영역의 경계가 바뀌는 위치가 기준입니다. 서술·단답형 18번은 만남의 시각을 찾는 식과 반대 방향 조건을 분리해 적어야 풀이 중 혼동을 줄일 수 있습니다.

마지막 검토에서는 등호와 예외를 살피세요. 11번은 부등호가 엄격하다는 점, 14번은 적분 방향, 15·16번은 연결점의 좌우미분계수가 중요합니다. 20번은 정지점과 극점의 차이, 21번은 나누어 정리하기 전 제외된 입력에서의 조건을 다시 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 평균값 정리와 부정적분의 기본 적용을 정리하세요. 정리의 적용 구간과 적분상수 결정 근거를 짧게 적어 보세요(1·2번 대비).
2. 적분을 포함한 등식의 형태를 구별하세요. 적분 양 끝이 고정된 경우와 변수인 경우를 나누고, 미분과 대입 중 출발 방법을 고르세요(3·7·21번 대비).
3. 부호표를 이용해 절댓값 적분과 이동 거리를 연습하세요. 변위와 거리, 속도와 가속도를 구별해 표시하세요(4·6·10·18번 대비).
4. 극값과 최댓값·최솟값을 연결하세요. 정의역을 적은 뒤 도함수의 부호와 끝점·극점의 위치를 함께 확인하세요(5·8·11·12·13번 대비).
5. 절댓값 및 구간별 함수의 미분가능성을 복습하세요. 영점의 중복도와 좌우미분계수를 그래프에 대응시키세요(15·16번 대비).
6. 넓이와 그래프 조건을 결합한 문제로 확장하세요. 영역의 경계와 대칭성, 근의 간격, 수평선 교점을 먼저 그린 뒤 식을 세우세요(9·14·17·19·20번 대비).