잠실고등학교
2023년 2학년 2학기 기말고사

잠실고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

잠실고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 단원은 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용입니다. 접선과 증가·감소에서 출발해 부피의 최대, 속도, 넓이, 역함수의 적분까지 연결되는 범위입니다.

기본 문항에서도 계산 대상의 의미를 구별해야 합니다. 속도 그래프의 적분은 위치의 변화량이고, 도함수 그래프의 적분은 원래 함수의 값의 차이입니다. 넓이를 구할 때는 축 아래 부분의 부호를 바꾸어야 하므로, 같은 적분 계산이라도 무엇을 구하는지 먼저 확인하세요.

후반에는 주어진 조건에서 함수의 형태를 복원한 뒤 그래프를 해석하는 문제가 이어집니다. 중근 조건과 극값, 절댓값과 미분가능성, 접선과 넓이를 연결하는 과정이 필요합니다. 미분 또는 적분 공식 하나를 적용하는 연습에 더해, 조건을 식으로 옮기는 순서를 정리해 두어야 합니다.

난이도 분포 — 후반에 이어지는 조건 해석

쉬움 문항은 기본 넓이, 속도 그래프의 해석, 부정적분, 도함수 그래프, 운동 방향을 다룹니다. 빠르게 풀 수 있는 구조이지만 부호나 적분상수를 놓치면 결과가 달라집니다. 특히 17번은 뒤쪽에 있는 서술·단답형이므로 앞의 어려운 문제에 시간을 모두 쓰기 전에 확인할 필요가 있습니다.

보통 문항은 접선의 기울기, 전체 구간에서의 증가 조건, 도형의 최대 부피, 변화율과 적분 등식으로 구성됩니다. 7·9번은 도형 관계를 식으로 만드는 단계가 중요하고, 10·11번은 적분 등식을 다루기 전에 대입이나 극한의 존재에서 얻는 조건을 확보해야 합니다.

12~16번에서는 조건을 연결하고 그래프의 교점이나 부호 변화를 판단하는 부담이 이어집니다. 18~20번도 어려움으로 분류되어 후반을 위한 시간이 필요합니다. 난이도는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감과 같다고 단정할 수 없으므로, 연습에서는 막힌 원인을 개념 해석과 계산으로 나누어 기록하세요.

출제 단원 — 미분의 활용과 적분의 의미 연결

가장 많은 도함수의활용은 접선, 증가 조건, 최적화, 변화율, 운동 방향, 실근 개수로 폭넓게 출제되었습니다. 3·5번의 기본 판단이 12·16·20번의 그래프 해석을 위한 바탕이 됩니다. 도함수의 근을 구한 뒤 원래 함수의 증감과 극값을 표시하는 과정까지 묶어서 연습하세요.

정적분의활용은 기본 넓이와 위치 해석에서 시작해 넓이 조건, 역함수의 대칭, 운동 방향, 넓이의 최소로 확장됩니다. 13·14·18·19번은 적분식을 세우기 전 준비 과정이 핵심입니다. 적분 구간과 위아래 경계를 정한 이유를 말로 설명할 수 있어야 식을 잘못 세우는 실수를 줄일 수 있습니다.

정적분과 부정적분도 단순 계산에만 머물지 않습니다. 8번은 극댓값을 이용해 함수값의 기준을 잡고, 10·11번은 적분으로 정의된 식을 미분과 연결하며, 15번은 극값의 개수를 부호 변화로 해석합니다. 단원명과 관계없이 함수·도함수·누적량을 오가는 연습이 필요합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 정적분 활용의 비중 확대

작년과 올해 모두 수학II이며 총 문항 수와 서술·단답형 수는 같습니다. 자동 분류 기준으로 쉬움은 3문항에서 5문항, 어려움은 4문항에서 8문항으로 늘고 보통은 13문항에서 7문항으로 줄었습니다. 기본 문제를 확보하는 과정과 복합 조건을 처리하는 과정을 구분해 준비할 필요가 있습니다.

도함수의활용은 10문항에서 8문항으로 줄었지만 가장 많은 단원이라는 점은 같습니다. 정적분의활용은 3문항에서 6문항으로 늘었고 정적분은 5문항에서 4문항, 부정적분은 2문항으로 같습니다. 미분의 활용을 유지하면서 넓이와 운동을 적분으로 표현하는 연습을 보강하세요.

작년 어려움 문항은 8·9·17·20번이었고 올해는 12~16번과 18~20번입니다. 올해는 후반에 어려움 문항이 이어지는 형태이므로 앞부분을 정확히 마치는 연습과 후반에서 풀 수 있는 문제를 골라내는 연습을 함께 권합니다. 이 비교만으로 다음 시험의 난도를 예측할 수는 없습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이들은 이용자 투표로 확인된 난도 순위가 아니라 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 계산 전에 그래프와 조건을 재구성해야 합니다. 풀이가 막히면 계산을 늘리기보다 대칭, 중근, 구간 제한 중 아직 반영하지 않은 조건을 찾아보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~11번의 기본 구조를 확인하고 17번도 함께 살펴보세요. 12~16번을 모두 해결한 뒤 서술·단답형으로 넘어가겠다고 정하면 쉬움으로 분류된 17번을 확인할 시간이 줄어들 수 있습니다. 시작 식이 보이지 않는 문제는 필요한 조건을 표시하고 다음 문항을 확인하세요.

적분 문제는 계산에 들어가기 전 구간, 부호, 기준값을 적어 두세요. 2번의 위치와 18번의 이동 거리는 속도 적분의 해석이 다르고, 13·14번은 영역의 경계가 중요합니다. 19번에서는 접점의 좌표를 변수로 두고 넓이 함수를 만드는 단계까지 정리한 뒤 계산하는 편이 좋습니다.

마지막 검토에서는 영점과 부호 변화를 구별하세요. 8·15번의 극값과 17·18번의 방향 전환은 단순히 도함수나 속도가 영이라는 사실만으로 확정되지 않습니다. 12·16·20번은 서로 다른 실근의 개수, 접하는 경우, 경계의 포함 여부를 중심으로 다시 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 부호 있는 넓이와 실제 넓이를 구별하고 기준 함수값에서 다른 함수값을 복원하세요. 그래프의 축 위아래를 먼저 표시하세요(1·2·6번 대비).
2. 도함수의 부호표로 증가·감소, 극값, 운동 방향을 함께 정리하세요. 영점 좌우에서 부호가 실제로 바뀌는지 확인하세요(5·8·17·18번 대비).
3. 접선과 도형의 닮음·직각삼각형 관계를 식으로 옮기세요. 미분하기 전에 변수의 의미와 가능한 범위를 적어 보세요(3·7·9번 대비).
4. 적분 등식은 기준점 대입, 원시함수 도입, 미분의 순서로 접근하세요. 극한의 존재에서 얻는 조건도 따로 기록하세요(4·10·11·15번 대비).
5. 넓이 조건과 역함수의 대칭을 연습하세요. 구간별 위아래 함수를 확인하고 접점을 변수로 둔 넓이의 최적화까지 연결하세요(13·14·19번 대비).
6. 중근과 절댓값의 미분가능성, 합성함수와 구간별 실근 개수를 묶어 복습하세요. 수평선이 극값에 닿는 경계를 별도로 그려 보세요(12·16·20번 대비).