잠신고등학교
2024년 2학년 2학기 중간고사

잠신고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

잠신고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 단원은 함수의극한, 함수의연속, 미분계수와도함수입니다. 무한대에서의 극한과 다항식 결정, 그래프의 연속성, 미분계수의 정의와 기하적 의미를 함께 다룹니다.

초반에는 차수 비교, 접선의 기울기, 좌우미분계수처럼 출발점이 비교적 분명한 문제가 놓여 있습니다. 후반에는 극한이 존재한다는 조건으로 인수를 추론하거나, 원래 함수에서 새로 정의한 함수의 그래프를 구성해야 합니다. 공식을 적용하기 전 조건을 해석하는 단계가 길어질 수 있습니다.

서술·단답형도 모두 복잡한 계산으로 이루어진 것은 아닙니다. 사잇값 정리의 전제와 결론을 연결하거나 항등식에서 미분계수의 정의를 만드는 문제가 포함됩니다. 연속과 미분가능성의 관계를 말로 설명하고, 극한 변형의 근거를 짧게 기록하는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 객관식 후반에 이어지는 조건 해석

쉬움은 1·4·18번입니다. 연속 조건과 수직인 직선의 기울기, 사잇값 정리를 정확하게 적용하는 것이 중심입니다. 보통 문항은 2·3·5·6·7·8·9·10·19·20번으로, 극한식의 모양을 바꾸거나 기하 조건을 식으로 옮기는 과정이 더해집니다.

11~17번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 인수의 중복 여부, 합성함수의 극한, 이동 구간에서 정해지는 최댓값처럼 조건을 여러 단계로 분해해야 합니다. 특히 17번은 원래 함수의 미분가능성만 살피는 것으로 끝나지 않고 새 함수의 경계까지 찾아야 합니다.

18~20번에서는 쉬움·보통 문항으로 돌아온 뒤 21·22번에서 다시 어려움이 나타납니다. 분류는 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료가 아닙니다. 다만 이 배치는 후반 객관식에 오래 머물기 전에 서술·단답형의 접근 가능한 문제를 확인할 필요가 있음을 보여 줍니다.

출제 단원 — 미분계수와 도함수의 비중

미분계수와도함수는 3·4·5·8·10·14·17·19·21·22번입니다. 정의에 맞게 분모를 조정하는 계산부터 구간별 함수의 미분가능성, 평균변화율의 기하적 해석까지 폭이 넓습니다. 미분 공식을 아는 것과 주어진 극한에서 미분계수를 찾아내는 능력을 함께 준비하세요.

함수의극한은 2·6·7·9·11·16·20번입니다. 무한대에서는 성장 차수를 비교하고, 유한한 지점에서는 분모가 사라지는 조건으로 분자의 인수를 찾아야 합니다. 7번의 도형 활용과 9번의 그래프 합성처럼 극한 계산에 앞서 관계식이나 접근 방향을 정해야 하는 유형도 포함됩니다.

함수의연속은 1·12·13·15·18번입니다. 기본적인 좌극한·우극한·함숫값의 일치에서 출발해 항등식과 합성, 그래프 변환으로 확장됩니다. 같은 단원 안에서도 1번의 경계 연결과 13번의 교점 개수 변화는 필요한 정리 방식이 다르므로 기본형 뒤에 조건 결합형을 연습하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 극한에서 미분계수로 이동한 중심

작년과 올해는 모두 수학II이며 총 문항 수는 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 8문항에서 9문항으로 늘었고, 쉬움은 5문항에서 3문항으로 줄었습니다. 서술·단답형도 3문항에서 4문항으로 늘어, 풀이의 출발 근거를 직접 정리하는 연습을 함께 해야 합니다.

함수의극한은 작년 10문항에서 올해 7문항으로 줄었고, 미분계수와도함수는 4문항에서 10문항으로 늘었습니다. 함수의연속은 5문항으로 같습니다. 작년에는 도함수의활용이 별도 분류되어 있으므로 분류명 변화까지 고려하되, 올해는 미분계수의 정의와 미분가능성 문제를 우선 복습할 근거가 분명합니다.

작년 어려움은 7번에서 시작해 13~17번과 19·21번에 있었고, 올해는 11~17번 및 21·22번에 모입니다. 특히 작년 서술·단답형이던 22번은 올해 객관식입니다. 다음 시험 준비에서는 마지막 번호의 형식을 미리 가정하기보다 시험 전체의 형식과 난도를 먼저 훑는 연습을 하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인한 순위가 아니라 풀이의 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 주어진 식을 바로 계산하기보다 새로운 함수나 방정식으로 재구성해야 한다는 것입니다. 식을 얻은 뒤에도 경계와 원소 수 조건을 원래 문제에 대조해야 합니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~10번의 기본 구조를 확인하고, 11~17번에서 인수 추론이나 그래프 구성이 길어지면 표시해 두세요. 18번의 사잇값 정리와 19·20번의 극한 변형을 확인할 시간을 남기는 것이 좋습니다. 제한 시간을 정한 연습에서는 계산보다 첫 관계식을 세우는 데 오래 걸린 문항을 따로 기록하세요.

서술·단답형에서는 정리의 전제와 식 변형의 근거를 짧게 남기세요. 18번은 연속인 구간과 양 끝 부호, 19번은 함숫값 확인과 도함수의 연속성, 20번은 차수 판단과 인수정리가 중요합니다. 21번에서는 절댓값 부등식의 위쪽 조건만 검토하지 말고 아래쪽 조건도 함께 적용해야 합니다.

마지막 검토는 방향과 경계에 집중하세요. 3·5번은 입력 변화량의 부호와 배율, 9·13번은 합성 입력의 접근 방향, 12·16번은 소거되는 인수의 중복 여부를 확인하세요. 17번에서는 새 함수가 연속이어도 미분가능하지 않을 수 있으며, 22번에서는 극한의 존재와 집합의 원소 수를 모두 확인해야 합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 극한의 기본형을 정리하세요. 무한대에서는 차수를 비교하고 기준 차수로 나누며, 유한한 지점에서는 분모가 사라지는 조건을 인수정리로 옮기세요(2·6·20번 대비).
2. 변형된 차분몫을 미분계수의 정의로 바꾸세요. 실제 입력 변화량을 먼저 적어 분모의 배율과 부호를 맞추는 연습이 필요합니다(3·5·19번 대비).
3. 연속과 미분가능성의 조건을 순서대로 적용하세요. 경계의 함숫값, 좌우극한, 좌우미분계수를 구별해 기록하세요(1·8·10·18번 대비).
4. 유리식의 극한에서는 인수의 중복을 보존하세요. 약분 뒤 남은 분모와 주어진 극한 조건을 다시 비교하는 연습을 하세요(11·12·16번 대비).
5. 그래프의 합성과 절댓값 변환을 연습하세요. 안쪽 함수의 접근 방향과 변환 뒤의 함숫값을 분리하고, 교점 개수 변화는 높이별로 표를 만드세요(9·13·15번 대비).
6. 새 함수의 정의를 그래프로 옮기세요. 평균변화율은 직선의 기울기로, 이동 구간의 최댓값은 끝점과 내부 꼭짓점의 비교로 해석하세요(7·14·17번 대비).
7. 모든 실수에서의 부등식과 실근 개수를 연결하세요. 판별식의 조건과 접하는 상황을 그림으로 확인한 뒤 원래 극한 조건에 대조하세요(21·22번 대비).