개포고등학교
2025년 2학년 2학기 중간고사

개포고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

개포고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 단원은 함수의극한, 함수의연속, 미분계수와도함수, 도함수의활용입니다. 극한과 연속의 기본 정의를 바탕으로 미분과 그래프 해석을 연결하는 시험입니다.

초반에는 다항함수의 미분, 구간별 함수의 연속, 무리식의 극한, 평균값 정리의 기본 적용을 확인합니다. 이후에는 극한 조건으로 다항식을 결정하거나, 새로 정의한 함수의 연속성과 미분가능성을 판단하는 문제가 이어집니다. 공식을 아는 것과 조건에 맞는 식을 세우는 것을 함께 연습해야 합니다.

객관식에서도 풀이의 논리 구조가 중요합니다. 그래프에서 기울기를 비교하는 5번, 교점의 선택이 바뀌는 16번, 부등식으로 미분가능성을 판단하는 21번은 단순 대입으로 접근하기 어렵습니다. 계산 전에 무엇을 비교하고 어느 경계에서 식이 달라지는지 짧게 적어 두세요.

난이도 분포 — 중반부터 이어지는 조건 해석

자동 분류 기준 쉬움은 1~4번입니다. 기본형이지만 2번은 경계에서 실제 함숫값을 정하는 식을 구별해야 하고, 4번은 평균값 정리의 점이 열린구간 안에 있다는 조건을 확인해야 합니다. 계산이 짧은 문항에서도 정의와 범위를 생략하지 않는 습관이 필요합니다.

보통은 5·7·8·9·14·20번입니다. 6번에서 풀이가 막히더라도 7~9번을 이어서 확인할 이유가 있습니다. 특히 20번은 서술·단답형이라는 형식만으로 뒤로 미루기보다, 인수분해와 연속 조건을 이용한 접근이 보이는지 먼저 살펴보세요.

어려움은 10~13번과 15~19번에 연속해서 배치되어 있습니다. 도형을 극한식으로 바꾸거나 구간별 정의를 다시 정리해야 하는 문항이 겹쳐 시간이 소모될 수 있습니다. 이 분류는 자동 분류 기준으로, 실제 응시자의 체감 난도나 문항별 성취 수준을 확정하는 자료는 아닙니다.

출제 단원 — 극한과 미분계수의 연결

미분계수와도함수는 1·5·9·10·11·19·21번입니다. 미분 공식만으로 끝나는 기본형부터 평균변화율의 해석, 함수의 관계식, 부등식과 미분계수의 연결까지 폭이 넓습니다. 특히 도함수의 식을 얻는 과정과 특정 점에서 미분가능함을 확인하는 과정은 구별해 준비하세요.

함수의극한은 3·7·8·12·13·14·17번입니다. 유리화와 약분뿐 아니라 무한대에서 차수를 비교하고 도형의 길이·넓이를 식으로 표현하는 문제가 포함됩니다. 17번처럼 계단 형태의 함수를 다룰 때는 계산보다 좌우에서 적용되는 정의를 정하는 일이 먼저입니다.

함수의연속에서는 15·16번의 그래프 해석이, 도함수의활용에서는 6·18번의 조건 결합이 눈에 띕니다. 연속은 경계의 극한과 함숫값을 비교하고, 극값은 도함수의 부호 변화로 확인하는 기본 원칙을 복합적인 상황에서도 유지해야 합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 같은 문항 수에서 넓어진 어려움 구간

작년과 올해는 모두 수학II이며 총 문항 수와 서술·단답형 문항 수가 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 작년 5문항에서 올해 11문항으로 늘고, 보통은 11문항에서 6문항으로 줄었습니다. 문항 수가 같아도 조건 해석에 필요한 풀이 부담이 커질 수 있는 구성입니다.

함수의극한은 작년 8문항에서 올해 7문항으로, 미분계수와도함수는 4문항에서 7문항으로 바뀌었습니다. 함수의연속은 모두 4문항이며 도함수의활용은 5문항에서 3문항으로 줄었습니다. 극한 계산을 익힌 뒤 미분계수의 정의와 경계의 미분가능성까지 연결하는 학습이 필요합니다.

작년의 어려움은 12·18·19·20·21번이었지만 올해는 6번부터 나타나고 중반에도 이어집니다. 서술·단답형도 작년 21번은 어려움, 올해 20번은 보통입니다. 다음 시험 대비에서는 번호나 형식으로 난도를 예상하기보다 전체를 훑어 접근 가능한 문항을 찾는 연습을 하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이는 해설의 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항이며 이용자 투표에 따른 순위는 아닙니다. 공통적으로 전체 식을 한꺼번에 계산하기보다 선택 규칙, 구간, 부호를 먼저 나누어야 합니다. 풀이를 복습할 때도 계산식보다 경우를 나눈 이유를 말로 설명해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~4번의 기본형을 정확하게 처리하고, 6번에서 구간 조건의 정리가 길어지면 표시한 뒤 다음 문항을 확인하세요. 7~9번과 14번, 서술·단답형 20번처럼 접근이 보이는 문항을 먼저 확보하는 연습이 유용합니다. 실제 제한 시간은 자료에 없으므로 연습에서는 문항별 소요 시간을 기록해 자신의 운영 기준을 만드세요.

12·13번의 도형 문제는 그림의 길이와 넓이를 식으로 만드는 시간을 따로 확보하세요. 15~19번에서는 구간을 나누는 기준을 적어 두면 같은 계산을 반복하는 일을 줄일 수 있습니다. 20번은 약분이 허용되는 점과 연속성으로 보완하는 점을 구별해 풀이의 근거를 남기세요.

마지막 검토는 경계와 부호에 집중하세요. 6번은 도함수의 근이 지정 구간 안에 있는지, 15번은 대칭으로 옮긴 근이 범위에 포함되는지, 17번은 개수의 변화점과 조건식의 변화점이 모두 반영됐는지 확인해야 합니다. 19번의 정수 조건과 21번의 음수 증가량에서 부등호 방향도 별도로 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 항별 미분, 유리화, 연속 조건, 평균값 정리를 기본형으로 정리하세요. 각 풀이에서 적용하는 정의와 구간 조건을 한 줄로 적어 보세요(1~4번 대비).
2. 극한의 존재와 다항식의 차수를 연결하세요. 최고차항 비교, 분자의 소거, 몫과 나머지의 항등식을 차례로 연습하세요(7·8·11·14번 대비).
3. 평균변화율과 미분계수를 정의에서 연결하세요. 그래프의 기울기 비교와 함수 관계식의 차분몫을 함께 다루세요(5·9·19번 대비).
4. 구간별 함수의 연속과 미분가능성을 분리해 점검하세요. 경계의 값, 좌우극한, 좌우 미분계수의 순서로 풀이를 정리하세요(10·18·20번 대비).
5. 도함수의 부호와 그래프의 대칭·교점 선택을 연습하세요. 구간별 그림에 경계 포함 여부를 표시하고 선택된 점의 이동을 추적하세요(6·15·16·17번 대비).
6. 도형의 길이·넓이를 극한식으로 바꾸고 부등식을 차분몫으로 바꾸는 연습을 마무리하세요. 식을 변형할 때 필요한 부호 조건을 설명해 보세요(12·13·21번 대비).