잠실고등학교
2022년 2학년 2학기 기말고사

잠실고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

잠실고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 단원은 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용입니다. 접선과 극값에서 시작하여 정적분으로 정의된 함수의 성질을 해석하는 문제까지 이어집니다.

도함수의활용에서는 접선의 기울기뿐 아니라 평균값 정리, 극값의 존재 조건, 닫힌구간의 최대·최소, 운동과 실근의 개수를 다룹니다. 도함수를 구하는 단계에서 끝내지 않고, 부호와 그래프의 형태를 원래 함수의 조건으로 돌려 읽는 연습이 필요합니다.

적분에서는 원시함수를 복원하는 기본형과 넓이 계산이 바탕이 됩니다. 이후 대칭성과 주기성, 절댓값, 적분으로 정의된 함수를 결합합니다. 단순 적분 계산의 반복보다 어떤 구간에서 어떤 식을 적분해야 하는지 판단하는 과정이 시험 전반을 연결합니다.

난이도 분포 — 중간과 마지막에 다시 나타나는 조건 해석

쉬움 문항은 1·10·11번입니다. 접선의 기울기, 도함수에서 함수 복원하기, 속도로부터 이동 거리 구하기가 기본 확인에 해당합니다. 8·9번에서 풀이가 길어지더라도 뒤에 기본형이 있다는 점을 기억하고 다음 문항을 확인하세요.

보통 문항은 초반의 2~7번, 적분 구간의 12~16번, 서술·단답형 18·19번에 분포합니다. 절댓값을 포함한 함수의 최댓값이나 주기함수의 정적분처럼 조건 정리가 필요한 문제도 포함되어 있습니다. 보통이라는 분류를 계산만으로 풀리는 문제라는 뜻으로 받아들이면 안 됩니다.

어려움 문항은 운동의 해석을 요구하는 8번, 실근의 개수를 다루는 9번, 적분과 그래프를 연결하는 17·20번입니다. 난이도는 모두 자동 분류 기준입니다. 서로 다른 개념을 연결하는 단계가 있는지를 살피되, 이 분류만으로 실제 응시자의 체감 난도 순서를 확정할 수는 없습니다.

출제 단원 — 도함수의 활용을 적분의 해석까지 연결

도함수의활용은 전체의 절반입니다. 1·2·18번의 접선, 3·5번의 극값, 6·7번의 최솟값과 최댓값을 먼저 묶어 복습하세요. 특히 4번은 도함수의 상한을 함수값의 범위로 바꾸므로 평균값 정리의 문장과 적용 조건을 함께 이해해야 합니다.

정적분은 14·15·17·19·20번입니다. 대칭성과 주기성으로 계산 구간을 줄이는 문제부터 적분식을 미분하여 함수나 그래프를 복원하는 문제까지 포함합니다. 19번의 기본적인 미분·적분 연결을 익힌 뒤 17·20번의 절댓값과 구간 해석으로 확장하는 순서가 좋습니다.

정적분의활용은 11·13·16번으로, 이동 거리와 도형의 넓이를 다룹니다. 부정적분의 10·12번은 적분상수 결정과 곱의 미분 구조 파악이 핵심입니다. 넓이를 계산하기 전에는 교점과 위아래 관계를, 함수를 복원하기 전에는 적분상수를 정할 조건을 먼저 표시하세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 조건을 여러 단계로 변환해야 한다는 점에서 고른 분석상 고난도 문항입니다. 이용자 투표에 따른 난도 순위는 아닙니다. 공통적으로 구간을 먼저 정리하고 그래프를 그린 뒤 식으로 확인하는 풀이가 유용합니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 접선과 기본 적분처럼 접근이 보이는 문항을 우선 처리하세요. 8·9번에서 그래프 해석이 길어지면 표시한 뒤 10·11번으로 이동할 수 있습니다. 문항 번호가 뒤라는 이유만으로 어렵다고 판단하지 말고, 18·19번의 서술·단답형까지 확인해 풀이 순서를 정하세요.

서술·단답형에서는 답을 쓰기 전 필요한 근거를 남기는 연습을 하세요. 18번은 수직인 기울기에서 접점과 접선으로 이어지는 과정을, 19번은 초기 조건과 미분 뒤의 관계를 분리해 적는 것이 좋습니다. 특히 변수식으로 나누는 순간 제외된 입력은 다항함수의 성질로 다시 확인해야 합니다.

마지막 검토에서는 계산보다 구간과 부호를 우선 보세요. 7·8번은 끝점 누락, 13·16번은 넓이의 부호, 15번은 도함수의 절댓값 분기가 점검 대상입니다. 17번은 적분 구간 내부의 분기 여부를, 20번은 등호가 구간 전체에서 유지되는지를 다시 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 접선의 기울기와 방정식을 복습하세요. 접점이 주어진 경우에서 시작해 다른 점을 지나는 조건과 수직 조건까지 연결하세요(1·2·18번 대비).
2. 도함수의 부호표로 극값과 최대·최소를 정리하세요. 판별식의 엄격한 부등호, 정의역의 끝점, 절댓값의 분기점을 함께 점검하세요(3·5·6·7번 대비).
3. 평균값 정리와 운동 해석을 연습하세요. 함수값의 차를 변화율로 연결하고 위치의 차와 거리, 속도를 구분해 설명하세요(4·8번 대비).
4. 부정적분과 미분의 역관계를 익히세요. 곱의 미분 형태를 찾고 적분상수를 정하는 조건을 따로 적는 습관을 들이세요(10·12·19번 대비).
5. 정적분의 대칭성과 부호를 묶어 연습하세요. 이동 거리와 넓이는 양수로 합하고, 주기함수는 기본 구간과 남는 구간으로 정리하세요(11·13·14·15·16번 대비).
6. 그래프와 수평선의 교점 문제로 확장하세요. 실근 개수에서 접점의 중복을 확인하고, 절댓값 적분의 구간 분류와 등호 조건을 설명하는 연습을 하세요(9·17·20번 대비).