숙명여자고등학교
2025년 2학년 2학기 중간고사

숙명여고 고2 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

숙명여자고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이 회차의 출제 단원은 함수의 극한과 연속, 미분계수와 도함수, 도함수의 활용입니다. 극한의 대소 관계와 무리식 계산부터 접선, 평균값 정리, 구간별 함수의 미분가능성까지 확인합니다.

앞부분에는 그래프의 극한과 미분 공식처럼 짧게 처리할 수 있는 문항이 있으나, 중간부터 여러 조건을 연립하거나 함수를 다시 해석해야 하는 문제가 나옵니다. 계산을 시작하기 전에 극한이 존재하기 위한 조건과 적용할 정리를 구별하는 것이 중요합니다.

서술·단답형 16·17번은 자동 분류 기준 쉬움, 18번은 보통입니다. 반면 뒤쪽 객관식에는 그래프의 교점 개수와 절댓값 함수의 미분가능성을 다루는 문제가 있습니다. 답안 형식과 체감 난도를 동일하게 생각하지 말고 전체 문항을 먼저 살피세요.

난이도 분포 — 중반과 마지막 객관식의 조건 해석

쉬움 구간에서는 1번의 접근 방향, 3번의 사잇값 정리, 4번의 유리화, 8번의 평균변화율을 정확히 처리해야 합니다. 16·17번도 기본 도함수와 미분계수 정의를 적용하는 문제이므로, 앞의 어려운 문항에 묶여 이 구간을 놓치지 않도록 하세요.

보통 문항도 단순 대입만으로 끝나지는 않습니다. 5번은 절댓값을 기준으로 좌우극한을 나누고, 7번은 나눗셈 항등식에 미분을 적용합니다. 18번은 도형에서 필요한 길이와 넓이 관계를 먼저 찾아야 극한 계산으로 넘어갈 수 있습니다.

어려움 구간의 성격은 서로 다릅니다. 10·12번은 극한 조건을 부등식이나 인수 조건으로 바꾸고, 13·14번은 접근 방향을 추적합니다. 21~23번에서는 그래프 변화나 미분가능성의 예외 지점을 체계적으로 정리해야 하므로 풀이 공간과 검토 시간을 확보하세요.

출제 단원 — 극한의 비중과 연속의 복합 조건

함수의극한이 가장 많습니다. 유리화와 인수분해를 안정적으로 수행하는 데서 출발해, 계단형 함수의 대소 관계나 여러 극한 조건으로 다항식의 형태를 정하는 단계까지 연결됩니다. 19번처럼 가능한 차수별로 조건을 점검하는 유형도 함께 연습하세요.

함수의연속은 문항 수만으로 학습 비중을 줄이기 어렵습니다. 13번은 합과 곱의 연속 조건을 함께 사용하며, 21·23번은 교점 개수의 변화를 함수로 다룹니다. 연속의 정의를 외우는 것에서 나아가 그래프의 경계에서 무엇이 바뀌는지 설명할 수 있어야 합니다.

미분계수와도함수에서는 구간 경계의 좌우미분계수 비교가 반복됩니다. 도함수의활용은 평균값 정리와 접선으로 연결되므로, 공식을 따로 암기하기보다 미분계수의 의미를 함수 관계식과 그래프에 적용하는 연습이 효과적입니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 서술형 감소와 연속 단원 확대

작년과 올해 모두 수학II이며 총 문항 수는 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 7문항에서 8문항으로 늘었지만 쉬움도 5문항에서 6문항으로 늘었습니다. 이 분포만으로 시험 전체의 체감 난도를 단정하기보다 중간 난도의 감소와 어려움 문항의 배치를 함께 보아야 합니다.

함수의극한은 9문항에서 8문항, 미분계수와도함수는 8문항에서 7문항, 도함수의활용은 4문항에서 3문항으로 줄었습니다. 함수의연속은 2문항에서 5문항으로 늘었습니다. 가장 많은 단원은 유지됐지만, 연속 조건과 그래프 해석까지 학습 비중을 넓힐 필요가 있습니다.

작년의 어려움 문항은 13·15·19·20·21·22·23번이며 올해는 10·12·13·14·19·21·22·23번입니다. 올해는 중반에도 주의 구간이 일찍 나타나며, 서술·단답형은 6문항에서 3문항으로 줄고 올해 어려움 문항은 모두 객관식입니다. 다음 대비에서는 형식보다 조건의 복잡성을 기준으로 풀이 순서를 연습하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

세 문항은 모두 계산 결과보다 변화가 일어나는 경계를 빠짐없이 찾는 과정이 중요합니다. 그래프에 경계를 표시하고 구간 내부와 경계 자체를 구분해 기록하세요. 이는 이용자 투표로 정한 순위가 아니라 조건의 연결 단계를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 극한과 미분 계산을 우선 확보하세요. 10번이나 12~14번에서 풀이 방향을 잡지 못하면 표시하고 다음 문항을 확인하는 편이 좋습니다. 특히 16·17번은 서술·단답형이지만 기본 개념으로 접근할 수 있으므로 형식 때문에 뒤로 미루지 마세요.

18번은 도형을 극한 식으로 옮기는 준비가 필요하고, 19번 이후에는 경우를 정리할 시간이 필요합니다. 전체를 번호순으로만 밀어붙이기보다 도형 관계를 찾았는지, 경계점 목록을 완성했는지처럼 풀이의 진척을 기준으로 계속할 문항을 판단하세요. 검토 때에는 표시한 조건부터 다시 읽으세요.

우선 점검할 조건은 13·14번의 접근 방향과 미분계수 부호, 15번의 후보를 거르는 부호 조건, 22번의 자연수 조건입니다. 21·23번에서는 접점과 구간 끝의 포함 여부를 구별해야 합니다. 경계값을 구간 내부의 규칙에 그대로 넣지 않고 원래 정의로 확인하는 습관을 들이세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 그래프에서 좌우극한을 읽고 사잇값 정리로 보장되는 근을 구분하세요. 접근 방향과 함숫값을 따로 표시하며 시작하세요(1·3번 대비).
2. 유리화·인수분해와 극한 존재 조건을 묶어 연습하세요. 직접 대입 가능한 경우와 인수가 필요한 경우를 먼저 구별하세요(2·4·5·12·15번 대비).
3. 미분계수 정의로 차분을 바꾸고 입력 변화량의 배율을 점검하세요. 항등식의 미분과 접선까지 연결하세요(7·8·9·11·16·17번 대비).
4. 구간별 함수의 접합점에서 연속과 좌우미분계수 조건을 차례로 쓰세요. 절댓값의 꺾임과 반사에 의한 부호 변화까지 확장하세요(14·20·22번 대비).
5. 극한의 대소 관계, 평균값 정리, 도형의 길이 관계처럼 식을 세우는 근거를 말로 설명하세요. 계산 전에 사용할 관계를 적는 연습입니다(6·10·18·19번 대비).
6. 교점 개수를 구간별 표로 만든 뒤 경계 자체의 개수를 확인하세요. 마지막에는 매개변수 변화와 대응시키는 단계까지 시간 안에 정리하세요(13·21·23번 대비).