잠실고등학교
2024년 2학년 2학기 중간고사

잠실고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

잠실고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 함수의 극한, 함수의 연속, 미분계수와 도함수입니다. 극한값 계산과 정의역 표기 같은 기본 개념부터 매개변수에 따라 바뀌는 그래프와 접선 조건까지 다룹니다.

앞부분에서는 그래프의 극한, 평균변화율, 곱의 미분법을 정확하게 적용하는 능력이 중요합니다. 이어지는 문항은 주어진 조건을 그대로 대입하기보다 다른 표현으로 바꿔야 합니다. 극한식에서 다항식의 차수나 근의 중복을 읽고, 도형의 교점 개수를 함수로 해석하는 과정이 대표적입니다.

서술·단답형은 19·20번이고 마지막 21번은 객관식입니다. 형식만 보고 마지막 구간의 부담을 판단하기 어렵습니다. 전체 문항을 훑으며 계산형과 조건 해석형을 구분하고, 연속성과 미분가능성을 근거와 함께 설명하는 연습을 하세요.

난이도 분포 — 후반에 이어지는 조건 해석

쉬움은 1~4번과 7번입니다. 그래프에서 극한을 읽거나 미분계수의 정의와 미분 공식을 적용하는 기본형입니다. 다만 1번에서는 함숫값과 극한값을 구분하고, 2번에서는 분모와 근호의 조건에 따라 구간의 끝점 포함 여부를 확인해야 합니다.

보통은 5·6·8·9·11·12·15번입니다. 근호의 유리화, 원과 직선의 위치 관계, 내접원과 넓이의 관계처럼 익숙한 도구를 알맞게 선택해야 합니다. 12번의 연속 조건과 미분 조건, 15번의 기울기 조건과 접점 조건을 각각 분리해서 적으면 누락을 줄일 수 있습니다.

어려움은 10·13·14번에서 시작해 16~21번으로 이어집니다. 이 분포는 자동 분류 기준입니다. 후반에는 후보를 얻는 계산과 후보가 속하는 구간을 확인하는 작업이 반복되므로, 풀이 중간에 경계 조건을 기록해 두는 습관이 필요합니다.

출제 단원 — 극한에서 구조를 읽고 연속성으로 검토

함수의극한은 기본 그래프 해석에서 도형 활용, 다항식 결정으로 확장됩니다. 10·13번에서는 무한대의 극한과 유한한 지점의 극한이 서로 다른 정보를 줍니다. 먼저 차수를 제한하고 필요한 인수의 중복도를 정리하면 계수를 무작정 전개하는 일을 줄일 수 있습니다.

미분계수와도함수는 기본 계산뿐 아니라 접합점의 미분가능성과 접선 해석을 포함합니다. 12·14번에서는 좌우에서 달라지는 식을 살피고, 15·19번에서는 접선의 기울기와 실제로 점을 지난다는 조건을 함께 사용합니다. 도함수 계산이 끝나도 원래 함수의 조건으로 돌아와야 합니다.

함수의연속에서는 6·20·21번처럼 개수를 함숫값으로 정하는 유형이 눈에 띕니다. 교점이나 집합 원소의 개수가 달라지는 순간을 찾아야 하므로, 식의 연속성만 판단하는 연습으로는 부족합니다. 경계에서의 개수와 그 직전·직후의 개수를 구별해 표로 정리해 보세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 서술형은 줄고 어려움 비중은 증가

작년과 올해는 모두 수학II입니다. 자동 분류 기준 어려움은 7문항에서 9문항으로 늘었고, 전체 대비 비중도 35.0%에서 42.9%로 높아졌습니다. 서술·단답형이 줄었다는 사실만으로 부담이 작아졌다고 보기 어렵습니다. 쉬움도 늘어난 만큼 기본형을 신속히 마치고 남은 시간을 조건 해석에 쓰는 운영이 중요합니다.

함수의극한은 6문항에서 8문항, 미분계수와도함수는 5문항에서 7문항, 함수의연속은 5문항에서 6문항으로 늘었습니다. 작년에 있던 도함수의활용 4문항은 올해 단원 분류에 없습니다. 이 자료에서는 활용 단원 풀이보다 극한·연속·미분계수의 개념을 여러 조건으로 연결하는 대비가 우선입니다.

작년 어려움은 11~16번과 20번이었고, 올해는 10·13·14번 및 16~21번입니다. 올해는 마지막 구간에 연속해서 배치되어 있으므로 뒤 문항을 위해 시간을 확보해야 합니다. 다음 준비에서는 극한으로 인수를 추론하는 유형과 개수 함수의 경계를 찾는 유형을 함께 연습하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항이며, 이용자 투표로 확인된 난도 순위는 아닙니다. 공통적으로 계산 결과를 얻은 뒤에도 적용 구간과 중복 여부를 확인해야 합니다. 식 옆에 조건을 함께 기록하고, 경우를 나눈 기준으로 돌아가 검토하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 그래프 읽기와 기본 미분처럼 출발점이 분명한 문항부터 처리하세요. 10번에서 인수의 중복을 정리하는 데 시간이 오래 걸리면 표시하고 11·12번을 확인하세요. 후반을 번호순으로 끝내려 하기보다, 전체를 살펴 자신이 익숙한 조건부터 식으로 옮기는 편이 좋습니다.

19·20번은 서술·단답형이므로 핵심 근거를 남기는 연습이 필요합니다. 19번은 극한에서 함숫값과 미분계수로 넘어가는 이유를, 20번은 평행한 경우와 교점이 겹치는 경우의 차이를 적어 보세요. 시험 시간이 자료에 제시되어 있지 않으므로 고정된 분 단위 배분보다 실제 풀이 기록으로 자신에게 맞는 비율을 정하세요.

마지막 검토에서는 약분에서 빠진 지점, 접합점의 연속 조건, 교점이 구간 안에 있는지를 우선 확인하세요. 9번은 제외된 입력의 복원, 12번은 연속성과 미분가능성의 동시 확인, 15번은 접선 위의 점인지가 핵심입니다. 16·21번에서는 경계에서의 값과 좌우에서 가까워지는 값을 섞지 않았는지 살펴보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 그래프의 극한과 정의역 표기를 복습하세요. 함숫값과 극한값, 열린 끝점과 닫힌 끝점을 말로 설명해 보세요(1·2번 대비).
2. 미분계수의 정의와 미분 공식을 연결하세요. 평균변화율과 순간변화율을 구분하고 곱의 미분에서 빠지는 항을 점검하세요(3·4·7번 대비).
3. 극한 계산의 도구를 정리하세요. 유리화와 대소 관계, 넓이와 내접원 관계를 이용해 계산 가능한 형태로 바꾸세요(5·8번 대비).
4. 다항식 결정은 차수 제한에서 인수의 중복도 순으로 연습하세요. 정수 조건과 적용 구간으로 후보를 걸러 내는 과정까지 포함하세요(10·13·17·18번 대비).
5. 연속성과 미분가능성을 나누어 확인하세요. 약분에서 제외된 점을 복원하고 접선의 기울기와 점의 위치 조건을 함께 쓰세요(9·12·14·15·19번 대비).
6. 도형과 집합의 개수 함수를 그려 보세요. 경계를 먼저 찾고 그 점의 값과 좌우 구간의 값을 표로 정리하세요(6·11·16·20·21번 대비).