잠실고등학교
2023년 2학년 2학기 중간고사

잠실고 고2 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

잠실고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이 회차의 출제 내용은 함수의 극한과 연속, 미분계수와 도함수, 도함수를 이용한 접선과 정리의 적용입니다. 단원 이름을 외우는 데서 그치지 않고 조건을 식과 그래프로 바꾸어 읽어야 합니다.

초반에는 롤의 정리, 사잇값의 정리, 구간별 함수의 미분가능성 등 교과 개념을 직접 확인합니다. 그러나 극한 계산에서도 잘못된 등식 변형을 찾게 하거나 절댓값에 따라 좌우를 나누게 하므로, 계산 결과만 확인하는 공부로는 부족합니다.

중후반에는 다항식의 형태를 극한으로 제한하고, 곱한 함수의 연속성과 미분가능성을 이용하거나 도형을 함수로 표현합니다. 전체를 무조건 전개하기보다 조건마다 얻을 수 있는 정보를 따로 적은 뒤 연결하는 방식이 적합합니다.

난이도 분포 — 11~16번의 연속된 어려움 구간

자동 분류 기준 쉬움 문항은 1·4·17번입니다. 1번은 정리의 가정을 확인하고 도함수를 적용하며, 4번은 연속함수의 부호 변화를 읽고, 17번은 접선의 기울기를 계산합니다. 뒤쪽에도 바로 접근할 수 있는 문항이 있으므로 시험 전체를 먼저 훑어보세요.

2~10번의 보통 문항은 절댓값, 그래프, 극한의 정의를 정확히 다루는 구간입니다. 11~16번에서는 서로 다른 조건을 결합하는 부담이 커집니다. 한 문항에서 식을 세우지 못한 채 오래 머물면 뒤의 서술·단답형까지 시간이 부족해질 수 있습니다.

18·19번은 자동 분류 기준 보통이지만 각각 함수 관계식과 도형의 넓이를 극한에 연결해야 합니다. 마지막 20번은 도형의 겹치는 넓이를 구간별로 표현하고 절댓값 함수의 미분가능성까지 확인하는 어려움 문항입니다.

출제 단원 — 함수의 극한을 중심으로 연결되는 조건

가장 많은 단원은 함수의극한입니다. 오류를 찾는 2번, 절댓값이 있는 5번, 다항식 결정의 9·12·14번, 도형에 적용하는 19번처럼 같은 극한도 접근 방식이 다릅니다. 인수분해와 최고차항 비교를 언제 쓰는지 구별해서 연습하세요.

함수의연속에서는 11번의 곱함수와 15번의 최소 해를 택하는 함수가 특히 주의할 대상입니다. 미분계수와도함수에서는 13번의 대칭성과 경계점 조건, 20번의 넓이 함수가 연결됩니다. 단원별 풀이법을 따로 암기하기보다 연속과 미분가능의 차이를 설명할 수 있어야 합니다.

도함수의활용은 기본 접선 계산부터 공통접선까지 포함합니다. 8·17번에서 접선의 기울기와 방정식을 확실히 익힌 뒤, 16번처럼 다른 곡선에도 접한다는 조건을 중근으로 해석하는 순서로 확장하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 문항 수는 같고 어려움과 서술·단답은 증가

작년과 올해는 모두 수학II입니다. 총 문항 수는 같지만 자동 분류 기준 어려움은 5문항에서 7문항으로 늘고 쉬움은 줄었습니다. 서술·단답형도 18·19번에서 16~19번으로 늘어, 계산 결과뿐 아니라 조건을 정리하는 연습의 필요성이 커졌습니다.

작년에는 미분계수와도함수가 8문항으로 가장 많았고 함수의극한은 7문항이었습니다. 올해는 각각 5문항과 6문항이며, 함수의연속은 두 해 모두 5문항입니다. 올해 도함수의활용으로 분류된 1·8·16·17번도 함께 준비하되, 단원 분류의 변화만으로 실제 체감 부담을 단정하지는 마세요.

작년 어려움은 14~17번과 20번에 있었고 올해는 11~16번과 20번입니다. 어려움 구간이 더 앞에서 시작하므로 중간에 막혔을 때 뒤의 기본 문항으로 이동하는 연습이 필요합니다. 극한의 계수 결정과 접선 조건을 연결하는 풀이를 우선 보완하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 순위를 확인한 문항이 아니라 풀이 구조를 바탕으로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 먼저 함수를 구간별로 파악하고, 연속 조건과 미분가능 조건을 분리해서 적용해야 합니다. 계산 전에 경계점 목록을 적는 습관이 도움이 됩니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

먼저 전체 문항을 훑어 객관식 20번과 서술·단답형 16~19번의 위치를 확인하세요. 앞부분을 풀다가 11~16번에서 풀이 방향이 잡히지 않으면 표시하고 17~19번으로 이동하는 방식이 적합합니다. 특히 기본 접선 계산인 17번을 뒤에 있다는 이유로 미루지 마세요.

서술·단답형에는 최종 계산만 남기지 말고 사용한 조건부터 적으세요. 16번은 접선과 중근 조건, 18번은 함숫값 관계와 미분한 관계식, 19번은 넓이와 접근 방향을 구분해 적으면 검산할 때도 도움이 됩니다. 시험 시간은 자료에 없으므로 연습 중 본인의 풀이 시간을 기록해 여유를 정하세요.

마지막 점검은 조건 중심으로 하세요. 5번의 좌우 접근 부호, 10번의 경계값 개수, 12번의 서로 다른 정수근, 14번의 계수가 사라지는 경우, 16번의 제외 조건을 확인하세요. 13·20번에서는 연속하다는 이유만으로 미분가능하다고 결론내리지 않았는지 살펴보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 정리의 가정과 기본 접선 계산부터 안정시키세요. 연속 구간과 미분가능 구간을 구분하고 접점의 가로좌표를 도함수에 대입하는 과정을 익히세요(1·4·8·17번 대비).
2. 극한의 식 변형을 연습하세요. 발산하는 항의 통분, 인수분해, 절댓값의 좌우 부호, 최고차항 비교를 풀이 이유와 함께 설명하세요(2·5·9번 대비).
3. 경계점에서 연속 조건을 세우는 연습을 하세요. 그래프의 좌우 극한과 함숫값을 표로 적고 실근 개수 조건을 판별식에 연결하세요(6·10·11번 대비).
4. 미분계수의 정의와 곱의 미분법을 연결하세요. 증분의 배율과 함수 관계식의 미분을 익힌 뒤 경계점에서는 정의로 돌아가는 연습을 하세요(3·7·13·18번 대비).
5. 다항식 결정에서는 차수, 근, 계수의 제한을 차례로 정리하세요. 약분으로 사라질 수 있는 경우와 자연수 조건을 마지막까지 확인하세요(12·14번 대비).
6. 도형과 그래프를 함수로 바꾸는 문제를 묶어 연습하세요. 공통접선의 중근 조건, 최소 해의 가지 선택, 넓이 비와 절댓값의 경계를 각각 그림에 표시하세요(15·16·19·20번 대비).