상문고등학교
2025년 2학년 2학기 중간고사

상문고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

상문고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 함수의 극한과 연속, 미분계수와 도함수, 접선의 방정식입니다. 유리화와 다항함수 미분 같은 기본형에서 구간별 함수의 성질을 판단하는 문제까지 이어집니다.

극한의 계산만 따로 익혀서는 대응하기 어렵습니다. 유한한 극한에서 함숫값 조건을 찾고 이를 미분계수로 해석하거나, 함수의 곱이 연속이 되는 조건을 각 경계에서 확인해야 합니다. 공식이 적용되는 이유와 전제까지 이해하는 학습이 필요합니다.

서술·단답형이 객관식 사이에 들어 있어 문항 형식과 난이도를 번호만으로 예상해서는 안 됩니다. 15·17·18번은 자동 분류 기준 보통인 반면 19번은 객관식이면서 어려움입니다. 전체를 살핀 뒤 풀이 구조가 보이는 문항을 먼저 확보하는 운영을 권합니다.

난이도 분포 — 중반부터 이어지는 조건 해석

쉬움 구간은 1~3번입니다. 유리화, 미분공식, 그래프에서의 좌우극한을 정확히 처리해야 이후 조건 해석에 시간을 쓸 수 있습니다. 4~7번에서는 연속 조건, 다항식 결정, 사잇값 정리, 미분계수의 정의가 등장하므로 단순 대입에서 한 단계 더 나아가야 합니다.

8번에서 자동 분류 기준 어려움이 나온 뒤 9·10번은 보통으로 돌아옵니다. 11~14번은 도형의 넓이, 대칭인 함수의 곱, 교점 개수, 분모의 영점처럼 서로 다른 표현을 해석하는 구간입니다. 막힌 문제 뒤에도 접근 가능한 문제가 있다는 점을 기억하세요.

후반에서는 보통인 15·17·18번 사이와 뒤에 어려움인 16·19·20번이 있습니다. 이 난이도는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감과 같다고 단정할 수 없습니다. 다만 구간을 나누고 경계값을 확인하는 과정이 후반 풀이의 주요 부담임은 자료에서 확인할 수 있습니다.

출제 단원 — 미분계수의 정의와 경계 처리 중심

가장 많은 미분계수와도함수는 기본 미분에서 시작해 항등식, 극한, 구간별 함수와 연결됩니다. 특히 7·18번은 극한식에서 미분계수를 읽어 내는 것이 출발점입니다. 12·16·19·20번을 준비할 때는 식을 미분하기 전에 원래 함수와 새로 정의한 함수의 경계를 구별하세요.

함수의극한에서는 계산형뿐 아니라 성질의 참·거짓과 부등식에 의한 극한, 도형 상황의 식 세우기가 나옵니다. 9번은 정리의 전제를 확인하고 반례를 생각하는 연습이 필요하며, 11번은 교점과 대칭 관계를 넓이 식으로 옮기는 단계가 중요합니다.

함수의연속은 연속의 정의를 적용하는 문제에서 교점과 분모의 실근을 해석하는 문제로 확장됩니다. 단원 이름만 보고 대입형으로 생각하지 마세요. 도함수의활용에 해당하는 17번은 접점을 미지수로 잡아 외부 점을 지나는 접선을 구성하는 기본 절차를 점검합니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확정된 난도 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 새로 정의된 함수의 경계를 다시 찾아야 한다는 것입니다. 원래 함수의 성질을 그대로 옮기지 말고 새 함수의 식과 함숫값을 별도로 정리하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~7번의 기본 구조를 정확히 처리하고, 8번에서 경우 정리가 길어지면 표시한 뒤 9·10번을 확인하세요. 11~14번을 모두 마쳐야 뒤로 넘어갈 수 있다고 생각하지 않는 것이 좋습니다. 접근 가능한 15·17·18번의 서술·단답형까지 살펴 전체 풀이 순서를 정하세요.

서술·단답형에서는 출발 근거를 짧게 써 두면 검산이 쉬워집니다. 15번은 나눗셈 항등식, 17번은 접점과 접선식, 18번은 함숫값과 미분계수의 정리가 출발점입니다. 20번은 원래 함수를 결정하는 단계와 새 함수의 구간을 나누는 단계를 분리해 연습하세요.

마지막에는 경계와 정의역을 중심으로 검토하세요. 6번은 반드시 존재하는 교점과 최솟값의 실현을 구별하고, 13번은 실근의 구간 소속을 확인해야 합니다. 14번은 식이 정의되지 않는 점과 극한이 존재하는 점을 구별하며, 19번은 좌우극한이 같아도 함숫값까지 일치하는지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 유리화와 그래프의 한쪽 극한, 다항함수 미분을 먼저 점검하세요. 접근 방향과 구하려는 값이 함숫값인지 미분계수인지 표시하며 풀어 보세요(1·2·3번 대비).
2. 연속의 정의와 정리의 전제를 정리하세요. 사잇값 정리를 적용할 차함수를 만들고, 항상 성립한다는 주장에는 반례도 생각해 보세요(4·6·9번 대비).
3. 극한식을 미분계수의 정의로 바꾸는 훈련을 하세요. 기준 함숫값, 입력 변화량, 분모의 배율을 따로 적은 뒤 곱의 미분법까지 연결하세요(5·7·18번 대비).
4. 부등식과 도형 조건을 극한 계산이 가능한 식으로 옮기세요. 비교할 경계식과 넓이의 밑변·높이를 먼저 정하는 연습이 필요합니다(10·11번 대비).
5. 구간별 함수는 경계, 함숫값, 좌우극한, 좌우미분계수를 표로 정리하세요. 곱과 절댓값, 입력 변환으로 경계가 어떻게 달라지는지 확인하세요(8·12·16·19·20번 대비).
6. 근의 위치와 접선 조건을 함께 복습하세요. 실근의 존재와 구간 소속을 구별하고, 항등식 미분 및 접점의 매개변수 표현을 연습하세요(13·14·15·17번 대비).