창덕여자고등학교
2022년 2학년 2학기 기말고사

창덕여고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

창덕여자고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이 회차의 자료에서 확인되는 범위는 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용입니다. 증감과 극값을 조사하는 미분 문제에서 시작해 넓이와 운동을 해석하는 적분 문제까지 이어집니다.

기본 계산을 할 수 있어도 문제에서 새로 정의한 양을 읽는 과정이 필요합니다. 교점의 개수를 함수로 나타내거나, 범위 안의 최솟값을 매개변수의 함수로 다루는 문항이 있습니다. 원래 함수의 그래프와 새로 정의한 함수의 그래프를 구별하는 것이 풀이의 출발점입니다.

서술·단답형이 마지막에만 연속해 있는 구성은 아닙니다. 17·18번 뒤의 19번은 객관식이고, 20~22번은 다시 서술·단답형입니다. 형식이나 번호만으로 부담을 예상하기보다 필요한 개념과 풀이 길이를 확인하세요. 자동 분류 기준 쉬움인 서술 문항도 있으므로 전체를 먼저 훑는 연습이 도움이 됩니다.

난이도 분포 — 초반의 조건 해석과 후반의 기본기

쉬움으로 분류된 문항은 정적분의 성질을 쓰는 1·21번, 두 곡선 사이 넓이의 9번, 증감표와 개형을 작성하는 17번입니다. 기본형에서도 적분 구간과 함수의 위아래 관계를 확인해야 합니다. 서술형 그래프는 계산뿐 아니라 극점과 절편을 표시하는 과정까지 마쳐야 합니다.

보통 문항은 극값, 변화율, 최대·최소에서 대칭 구간의 적분과 운동까지 폭넓게 분포합니다. 14번처럼 주어진 적분 등식에 적절한 입력을 대입하면 계산이 줄어드는 문제도 있습니다. 모든 함수를 끝까지 구하려 하기보다 요구한 양을 바로 얻을 수 있는지 살펴보세요.

자동 분류 기준 어려움인 5~8번에서는 교점 개수, 최솟값 함수, 운동 그래프, 다항함수의 차수 판단으로 접근 방식이 바뀝니다. 19번은 절댓값과 미분가능성을 연결합니다. 이 분류는 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료가 아니므로, 자신의 풀이에서 조건 변환에 걸리는 시간을 함께 점검하세요.

출제 단원 — 도함수의 활용을 중심으로 적분 해석까지

도함수의활용은 극값을 이용한 계수 결정, 닮음과 변화율, 입체도형의 최대 부피, 단조 조건 등으로 나뉩니다. 미분식을 구하는 계산 이후에 도함수의 부호를 어떤 대상에 적용할지 판단해야 합니다. 5·6·19번은 원래 다항함수의 성질을 다른 함수의 조건으로 옮기는 연습에 적합합니다.

정적분은 같은 구간의 적분을 합치는 기본 성질에서 대칭성, 변수인 적분 끝점, 적분 등식의 해석까지 다룹니다. 8번은 적분 관계를 미분한 뒤 차수와 최고차항을 검토하고, 14번은 대입으로 목표를 좁힐 수 있습니다. 적분 등식을 보면 무조건 미분하는 습관보다 대입과 미분의 목적을 구별하세요.

정적분의활용에서는 넓이와 운동이 모두 확인됩니다. 역함수 적분은 대칭으로, 넓이 이등분은 교점과 면적 관계로 접근합니다. 운동 문제는 출발 위치와 출발 시각을 먼저 기록해야 합니다. 부정적분의 13번도 적분상수를 결정하는 조건을 빠뜨리지 않도록 복습할 필요가 있습니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 순위가 아니라 조건 처리 과정을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산 전에 함수의 구조를 정해야 한다는 것입니다. 개수의 변화 지점, 최고차항이 사라지는 경우, 근의 위치를 먼저 표시하면 이후 계산의 목적이 분명해집니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 5~8번에 연속해서 오래 머물지 않도록 하세요. 그래프를 그려도 조건 연결이 보이지 않으면 진행한 내용을 표시하고 뒤 문항을 확인하는 편이 좋습니다. 9번의 넓이, 17번의 증감표, 21번의 구간 분할처럼 익숙한 구조를 먼저 마친 뒤 돌아오는 연습을 권합니다.

서술·단답형에서는 판단의 근거를 짧게 남기세요. 17번은 도함수의 부호와 그래프가 일치해야 하고, 18번은 전체 실수에서의 감소 조건을 설명해야 합니다. 20번은 대칭성을 적용하는 대상이 원래 함수인지 도함수인지 구별하고, 22번은 두 점의 시간 기준을 통일한 뒤 식을 세우세요.

마지막 검토는 부호와 경계에 집중하세요. 4번은 높이의 허용 범위, 6번은 최솟값을 만드는 점의 포함 여부, 15·16번은 위치 변화와 이동 거리의 차이가 중요합니다. 18번은 도함수가 일부 지점에서 사라지는 경계를 무조건 제외하지 말고, 22번은 식을 나누기 전에 그 식이 사라지는 경우를 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 정적분의 선형성과 구간 분할부터 복습하세요. 구간을 수직선에 표시한 뒤 필요한 적분을 기존 적분의 합과 차로 나타내 보세요(1·21번 대비).
2. 도함수의 부호표로 증감과 극값을 설명하세요. 계수 결정, 전체 실수에서의 단조 조건, 최솟값 함수로 차례로 확장하세요(2·6·17·18번 대비).
3. 도형 조건을 변수 하나의 함수로 바꾸세요. 닮음과 피타고라스 관계를 이용해 길이 또는 부피를 표현하고 정의역을 먼저 적으세요(3·4번 대비).
4. 정적분 등식은 대입과 미분을 구별해 연습하세요. 적분상수, 대칭성, 다항함수의 차수와 최고차항 소거를 점검하세요(8·10·13·14·20번 대비).
5. 넓이 문제에서는 교점과 위아래 관계를 먼저 표시하세요. 역함수의 대칭과 넓이 분할 조건까지 연결해 보세요(9·11·12번 대비).
6. 운동 문제는 위치·속도·거리의 관계를 말로 설명한 뒤 식을 세우세요. 속도의 부호와 누적 위치를 구별하고 출발 시각의 차이도 반영하세요(7·15·16·22번 대비).
7. 교점 개수와 절댓값 함수는 경계에서의 예외를 따로 적으세요. 극값의 높이, 근의 중복도, 접합점의 미분가능성을 검토하는 연습을 마무리하세요(5·19번 대비).