창덕여자고등학교
2025년 2학년 2학기 기말고사

창덕여고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

창덕여자고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 범위는 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용입니다. 미분으로 함수의 변화를 파악하고 적분으로 누적량과 넓이를 해석하는 내용이 함께 출제되었습니다.

기본 적분 공식만 익혀서는 접근이 끊기는 문항이 있습니다. 주기 조건으로 적분 구간을 옮기는 6번, 역함수의 대칭성을 사용하는 8번처럼 계산 전 그래프의 구조를 읽어야 합니다. 함수식이 주어져도 무엇을 비교하고 어떤 구간을 나눌지 먼저 정하는 편이 좋습니다.

도함수의활용에서는 극값을 구하는 기본형에서 출발해 부등식의 성립 범위와 이동 구간의 최댓값으로 확장됩니다. 서술·단답형에서는 20번의 평균값 정리처럼 적용 근거를 명시해야 하는 문항도 있습니다. 계산 결과와 함께 그 계산이 가능한 이유를 쓰는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 중후반의 조건 해석과 뒤쪽 기본형

쉬움은 1·20번입니다. 1번은 도함수에서 원래 함수를 복원하고 조건을 적용하는 기본형이며, 20번은 평균값 정리를 다룹니다. 특히 20번은 쉬움으로 분류되어도 정리의 가정과 열린구간 안의 후보 확인을 빠뜨리지 않아야 합니다.

보통 문항은 2·3·4·5·7·12·21·22번에 분포합니다. 정적분을 포함한 등식, 대칭 구간, 속도와 거리 등 익숙한 개념을 정확히 적용하는 구간입니다. 뒤쪽의 21·22번도 구간 가법성이나 고정된 정적분의 상수 처리를 알면 출발점을 잡을 수 있습니다.

어려움은 6·8번과 9~11번, 13~19번에 놓여 있습니다. 이동 구간이나 부호 조건처럼 해석 단계가 길어지는 유형이 이어집니다. 이는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도와 같다고 단정할 수는 없지만, 후반에 검토 시간을 남기는 연습이 필요함을 보여 줍니다.

출제 단원 — 도함수의 활용과 적분의 해석

도함수의활용은 5·7·9·10·11·13·14·18·20번입니다. 도함수의 영점과 부호 변화에서 시작해 극값, 구간 최댓값, 방정식의 실근, 도형의 넓이로 연결됩니다. 같은 부호표라도 극값을 묻는지 전체 구간의 대소를 묻는지에 따라 검토 대상이 달라집니다.

정적분은 2·4·6·17·21·22번입니다. 적분 끝점에 변수가 있을 때의 미분, 대칭성과 주기성, 고정 구간 정적분의 상수 처리 등이 나옵니다. 정적분의활용은 8·12·15·16·19번으로, 넓이와 운동을 식으로 바꾼 뒤 구간 및 부호를 확인해야 합니다.

부정적분은 1·3번입니다. 1번에서는 적분상수와 미지수를 조건으로 정하고, 3번에서는 주어진 부정적분 관계를 미분계수와 연결합니다. 원시함수를 끝까지 구할 필요가 있는지 판단하는 것도 계산을 줄이는 방법입니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 같은 문항 수에서 넓어진 어려움 구간

작년과 올해 모두 수학II이며 총 문항 수는 같습니다. 자동 분류 기준으로 올해는 어려움이 늘고 쉬움과 보통이 줄었습니다. 서술·단답형도 늘어 계산을 끝낸 뒤 풀이 근거를 정리하는 연습의 필요성이 커졌습니다. 이 변화는 분류와 구성의 비교이며 실제 점수 변화로 해석할 수는 없습니다.

도함수의활용은 작년에도 가장 많은 단원이었고 올해도 그 위치를 유지합니다. 정적분과 정적분의활용의 문항 수는 같고, 부정적분은 늘었습니다. 큰 단원 틀을 유지하면서 난이도 분포가 달라졌으므로 단원별 문제 수만 보고 준비 강도를 정하기는 어렵습니다.

작년 어려움 문항은 11·18·19·22번이었지만 올해는 6·8번부터 등장하며 중후반에 넓게 이어집니다. 반대로 올해 마지막의 20~22번은 쉬움 또는 보통입니다. 다음 시험 대비에서는 앞에서 막힌 문제를 잠시 넘기고 뒤쪽의 접근 가능한 문항을 확보하는 운영도 함께 연습하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확정한 순위가 아니라 조건 처리 과정을 바탕으로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 주어진 조건을 새로운 함수나 좌표 관계로 바꾸어야 합니다. 풀이 전에 변화하는 대상과 고정된 대상을 적으면 경우를 나누는 기준을 찾기 쉽습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 적분과 미분의 기본 관계가 바로 보이는 문항을 확보하세요. 6번의 주기 처리나 8번의 영역 해석에서 출발점이 보이지 않으면 표시하고 다음 문제를 살펴보세요. 13~19번의 풀이가 길어지더라도 20~22번을 확인할 시간을 남기는 것이 좋습니다.

운동 문항은 묻는 양을 먼저 표시하세요. 7번은 방향 전환이므로 속도의 부호 변화를 보고, 12번은 정지 전 거리이므로 단위와 적분 범위를 맞춥니다. 16번은 주어진 위치에서 다른 시각의 위치를 찾으므로 부호를 가진 위치 변화량을 사용해야 합니다. 같은 속도 그래프라도 질문에 따라 처리 방식이 달라집니다.

마지막 검토에서는 9번의 엄격한 부등호, 10번의 접하는 영점, 13번의 중복된 실근을 확인하세요. 15번은 넓이의 부호와 구간별 식을, 20번은 정리의 가정과 후보의 범위를 점검하세요. 22번에서는 고정된 적분값과 적분상수를 서로 다른 기호로 관리하면 누락을 줄일 수 있습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 부정적분과 미분계수의 연결부터 복습하세요. 원래 함수를 복원할 때와 도함수 정보만 사용할 때를 나누어 연습하세요(1·3번 대비).
2. 정적분 등식은 구간 가법성, 끝점 대입, 미분, 고정 적분값의 상수 처리 순서로 접근법을 정리하세요(2·4·21·22번 대비).
3. 도함수 부호표에 끝점의 함수값을 함께 기록하세요. 극값의 개수와 구간의 최댓값·최솟값을 구별하고 중복된 근을 검토하세요(5·9·10·11·13번 대비).
4. 주기함수와 역함수는 그래프를 간단히 그린 뒤 적분 구간과 넓이를 옮기는 연습을 하세요(6·8번 대비).
5. 이동 구간과 부호로 나뉜 함수는 경우 분류 기준을 먼저 쓰세요. 적분 조건이 어느 구간의 부호를 제한하는지 설명해 보세요(14·15·17번 대비).
6. 운동에서는 위치·속도·거리를, 도형에서는 교점·넓이·중점을 연결하세요. 마지막에는 평균값 정리의 가정까지 문장으로 써 보세요(7·12·16·18·19·20번 대비).