창덕여자고등학교
2024년 2학년 2학기 기말고사

창덕여고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

창덕여자고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 단원은 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용입니다. 극대·극소와 최대·최소, 운동, 넓이, 적분으로 정의된 함수가 주요 내용입니다.

도함수의 부호를 원함수의 증감으로 읽는 기본형에서 출발해 접선과 실근 개수, 모든 실수에서 성립하는 부등식으로 확장됩니다. 적분에서는 직접 계산보다 구간을 합치거나 대칭성을 활용하고, 적분식을 미분해 함수의 관계를 얻는 접근이 중요합니다.

서술·단답형이 마지막까지 연속되는 구성은 아닙니다. 20·21번 뒤에 객관식 22번이 있으므로 형식과 난이도를 번호만으로 예상하지 마세요. 보통으로 분류된 문항에서도 그래프의 의미를 정확히 읽고 조건을 정리해야 안정적으로 계산을 마칠 수 있습니다.

난이도 분포 — 보통 문항 중심과 후반의 조건 해석

자동 분류 기준 쉬움 문항은 초반에 분포합니다. 1번은 부정적분과 미분의 관계를 바로 적용하고, 2·4번은 운동에서 속도와 거리의 의미를 구별합니다. 7번은 시간에 따른 변의 길이를 넓이 함수로 만든 뒤 미분하는 기본 연결을 확인합니다.

보통 문항의 풀이 부담은 다양합니다. 5번은 끝점과 극값을 비교하고, 6번은 도함수 그래프에서 원함수의 성질을 읽어야 합니다. 15번의 전 구간 부등식과 16·17번의 적분 등식은 조건을 정리하지 않고 전개하면 계산이 길어질 수 있습니다.

자동 분류 기준 어려움 문항은 11번에서 먼저 등장하고 18·19·22번에 이어집니다. 이 분류를 실제 응시자의 체감 난도와 동일하게 볼 수는 없습니다. 다만 적분의 대상이 되는 함수를 먼저 구성하거나 미분가능성으로 함수 형태를 제한해야 한다는 점에서 별도 연습이 필요합니다.

출제 단원 — 도함수 활용의 비중과 정적분의 연결

도함수의활용에서는 극값을 갖는 조건, 닫힌구간의 최대·최소, 접촉 조건, 그래프의 교점 개수를 폭넓게 다룹니다. 도함수가 사라지는 점을 찾는 데서 끝내지 말고 부호 변화와 정의역을 함께 표시하는 연습이 필요합니다. 운동 문항에서도 위치와 속도, 가속도가 각각 어떤 함수인지 먼저 구별하세요.

정적분은 구간의 결합과 대칭성에서 적분 등식, 구간별 함수의 적분으로 이어집니다. 16·17번에서는 미분으로 관계식을 단순화하되 원래 적분식에 포함된 조건을 남겨 두어야 합니다. 18·19번은 적분 계산에 앞서 최대값 함수나 절댓값의 구간을 정하는 과정이 핵심입니다.

정적분의활용은 거리와 넓이의 부호 처리가 공통 기반입니다. 10번의 대칭성과 넓이 관계, 11번의 역함수 그래프, 20번의 함수 복원처럼 다른 개념과 이어집니다. 부정적분은 독립 분류상 1번이지만, 원함수 복원은 적분 활용 문항을 풀 때도 필요한 도구입니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 문항 수 감소와 정적분 비중의 변화

작년과 올해는 모두 수학II입니다. 총 문항은 24문항에서 22문항으로, 서술·단답형은 5문항에서 2문항으로 줄었습니다. 자동 분류 기준 어려움은 4문항으로 같으므로, 문항 수 감소만으로 시험이 쉬워졌다고 판단하기는 어렵습니다.

도함수의활용은 10문항으로 유지됐습니다. 정적분은 4문항에서 6문항으로 늘었고, 정적분의활용은 7문항에서 5문항으로, 부정적분은 3문항에서 1문항으로 줄었습니다. 단원별 준비에서는 정적분의 성질과 적분으로 정의된 함수를 충분히 다루는 편이 좋습니다.

자동 분류 기준 어려움의 위치는 작년 16·18·20·23번에서 올해 11·18·19·22번으로 바뀌었습니다. 작년에는 23번이 서술·단답에 포함되지만 올해 해당 문항들은 모두 객관식입니다. 풀이 형식보다 조건 해석을 기준으로 대비하고, 후반 문제를 살펴볼 시간을 확보하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산에 앞서 함수의 형태나 구간을 확정해야 한다는 것입니다. 조건을 도함수 부호, 그래프 대응, 근의 구조로 바꾸는 첫 단계를 따로 연습하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 접근이 보이는 기본형과 보통 문항을 먼저 확보하세요. 11번에서 역함수 조건이 정리되지 않으면 표시하고 다음 문항을 확인하는 편이 좋습니다. 18·19번에서 시간이 길어져도 보통으로 분류된 서술·단답형 20·21번을 살펴볼 여유를 남기세요.

적분 문제에서는 계산하기 전에 부호표와 구간을 간단히 적으세요. 4·12번은 거리와 위치의 변화량, 10·20번은 넓이와 부호 있는 적분을 구별해야 합니다. 18번은 최대 절댓값을 정하는 구간, 19번은 원래 함수의 부호가 바뀌는 구간이라는 차이를 확인하세요.

마지막 검토는 조건을 역으로 대조하는 데 쓰세요. 3·13번은 극값과 서로 다른 실근의 경계, 14번은 출발 이후라는 조건, 15번은 모든 실수에서의 성립을 확인해야 합니다. 16·17번에서는 미분하며 사라진 조건이 남아 있는지, 22번에서는 얻은 함수가 부호 조건까지 만족하는지 살펴보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 도함수의 부호표로 극값과 최대·최소를 구분하세요. 닫힌구간의 끝점과 부호 변화가 없는 영점을 함께 점검하세요(3·5·6번 대비).
2. 위치·속도·가속도와 넓이 변화율을 함수로 연결하세요. 거리에서는 속도의 절댓값, 위치에서는 출발 위치와 부호 있는 적분을 사용하세요(2·4·7·12·14번 대비).
3. 접촉과 교점 개수 조건을 그래프로 표현하세요. 수평선의 높이, 접선의 기울기, 전 구간 부등식을 각각 구별해 보세요(8·13·15번 대비).
4. 정적분의 구간 결합과 대칭성을 먼저 복습한 뒤 넓이 관계와 역함수 적분으로 확장하세요. 대응하는 끝점을 그림에 표시하세요(9·10·11·21번 대비).
5. 적분 등식을 미분하는 연습과 원래 식으로 검산하는 연습을 묶으세요. 고정 구간의 적분값은 상수로 두고, 함수 복원에서는 초기 조건을 남기세요(16·17·20번 대비).
6. 절댓값과 최대값을 포함한 함수는 정의부터 구간별로 작성하세요. 최대값이 바뀌는 경계와 미분가능성을 제한하는 영점 조건을 따로 설명해 보세요(18·19·22번 대비).