압구정고등학교
2025년 2학년 2학기 중간고사

압구정고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

압구정고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이 시험은 함수의 극한과 연속에서 시작해 미분계수와 도함수, 접선과 평균값 정리 등 도함수의 활용까지 다룹니다. 단원 이름을 외우는 것보다 서로 연결되는 정의를 정리해 두는 것이 중요합니다.

초반에는 미분계수의 정의, 곱의 미분법, 기본 극한 계산을 확인합니다. 이후 분모의 실근 유무, 평균변화율의 가능한 범위, 그래프에서 읽은 좌우극한처럼 계산 전에 조건을 판단해야 하는 문항이 이어집니다. 익숙한 공식만 반복해서는 중간 구간에서도 시간이 늘어날 수 있습니다.

서술·단답형은 계산형과 정리 적용형이 함께 있습니다. 평균값 정리의 증명 과정과 사잇값 정리를 이용한 존재 증명을 준비하고, 함수의 항등식을 미분계수의 정의로 바꾸는 연습도 해야 합니다. 마지막 문항만 어려울 것이라고 예상하며 푸는 방식은 적절하지 않습니다.

난이도 분포 — 보통 문항 중심, 후반의 조건 판단에 주의

쉬움 문항은 1·2·3·6·17번입니다. 객관식 초반에서 정의와 기본 연산을 안정적으로 처리하고, 서술·단답형 시작인 17번도 놓치지 않는 것이 우선입니다. 서술 형식이라는 이유만으로 쉬운 문항까지 뒤로 미루지 마세요.

보통 문항에는 유리화, 판별식, 그래프 이동, 조임정리, 교점 거리의 극한 등 서로 다른 접근이 섞여 있습니다. 자동 분류 기준 보통이라는 표시가 풀이 시간이 모두 짧다는 뜻은 아닙니다. 무엇을 먼저 정리할지 판단하는 연습이 시간 절약에 도움이 됩니다.

어려움 문항은 14·16·19번에 분산돼 있습니다. 그래프의 불연속을 합·곱에 반영하거나, 여러 경계 조건을 연립하거나, 미분가능성에서 연속 조건을 추출하는 문항입니다. 공통적으로 식을 얻은 뒤 원래 조건에 다시 대조하는 과정이 필요합니다.

출제 단원 — 극한의 비중과 연속성의 연결

가장 많이 나온 함수의극한은 단순 대입에 한정되지 않습니다. 치환, 수렴하는 선형결합의 활용, 부등식을 통한 극한, 그래프의 이동, 교점 거리까지 표현이 다양합니다. 20번처럼 기하 정보를 대수식으로 바꾼 뒤 극한을 구하는 연결형도 준비해야 합니다.

함수의연속에서는 분기점에서 극한과 함숫값을 맞추는 기본형과 그래프·함수 관계식이 결합된 유형이 함께 나옵니다. 이 단원에 어려움으로 분류된 14·16번이 포함되므로 문항 수뿐 아니라 조건의 복잡성도 살펴야 합니다.

미분계수와도함수는 정의를 읽는 1번부터 항등식을 활용하는 22번까지 폭이 있습니다. 도함수의활용은 접선과 평균값 정리, 비용함수의 의미를 다루므로 계산 공식과 용어의 뜻을 함께 정리하세요.

문항별 정리

아래 난이도는 모두 자동 분류 기준입니다. 각 문항의 핵심 접근과 점검할 조건을 정리했습니다.

작년 시험과 비교 — 어려움 수는 같고 보통 문항은 증가

작년과 올해 모두 수학II입니다. 자동 분류 기준 어려움은 두 해 모두 3문항이지만, 쉬움은 9문항에서 5문항으로 줄고 보통은 11문항에서 14문항으로 늘었습니다. 어려움 개수가 같다는 이유로 시험 전체의 부담도 같다고 볼 수는 없으며, 보통 구간을 안정적으로 처리하는 준비가 중요해졌습니다.

함수의극한은 10문항에서 7문항, 미분계수와도함수는 7문항에서 5문항으로 줄었고 함수의연속은 6문항으로 같습니다. 올해 자료에는 도함수의활용이 4문항으로 분류돼 있습니다. 이 분류 차이를 고려해 극한에만 학습을 몰기보다 접선과 정리 적용까지 대비하세요.

작년 어려움은 19·20·21번에 모였지만 올해는 14·16·19번입니다. 서술·단답형도 작년에는 14·15·16·17·18·22·23번, 올해는 17~22번으로 배치가 달라졌습니다. 어려움이 나오는 위치를 예상하기보다 문항별 해결 가능성을 보고 이동하는 훈련이 필요합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

세 문항은 모두 경계에서 무엇이 정의되고 어떤 극한이 일치해야 하는지를 묻습니다. 자동 분류 기준 어려움에 해당하는 분석상 고난도 문항이며, 이용자 평가로 확인한 최난도 순위는 아닙니다. 경계별 조건표를 만든 뒤 후보를 원래 식에 대조하는 방식으로 연습하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음에는 정의와 기본 연산으로 바로 처리할 수 있는 문항을 확보하세요. 14·16번에서 경계 조건이 정리되지 않으면 표시하고 서술·단답형을 확인하는 편이 좋습니다. 17·18번처럼 접근이 분명한 문항을 먼저 풀어 답안을 작성할 시간을 남겨 두세요.

조건 점검에서는 7번의 분모와 정의역, 10번의 서로 다른 두 점, 12번의 우극한 방향, 13번의 음의 방향 무한대를 특히 살펴야 합니다. 범위의 끝점을 포함하는지와 제곱근에서 절댓값 처리가 필요한지를 풀이 옆에 표시하면 실수를 줄일 수 있습니다.

서술형 검토 시간에는 계산만 다시 하지 말고 논리의 연결을 읽으세요. 17번은 평균값 정리의 가정과 보장되는 점의 범위, 21번은 보조함수의 연속성과 끝점 부호가 드러나야 합니다. 19번은 제외된 점의 실제 값, 22번은 증가량의 배율을 마지막으로 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 미분계수의 정의와 곱의 미분부터 정리하세요. 극한식을 미분계수로 읽는 연습과 기호 계산을 함께 합니다(1·2번 대비).
2. 극한의 치환·인수분해·유리화를 연습하세요. 계산 전후의 접근 지점과 식의 적용 범위를 적습니다(3·5·6·18번 대비).
3. 극한의 구조를 구별하세요. 선형결합, 조임정리, 그래프 이동, 무한대에서의 부호 처리를 나눠 복습합니다(8·11·12·13번 대비).
4. 연속 조건을 경계별 표로 정리하세요. 좌우극한과 함숫값을 구분하고 매개변수 후보를 원래 범위에 대조합니다(7·14·16번 대비).
5. 접선과 평균변화율의 의미를 설명해 보세요. 비용함수에서는 평균비용과 한계비용을 구분하고 교점 거리에서는 좌표 차를 먼저 정리합니다(4·9·10·15·20번 대비).
6. 정리를 이용한 증명을 문장으로 완성하세요. 가정 확인, 보조함수 설정, 결론의 순서로 씁니다(17·21번 대비).
7. 미분가능성과 항등식을 연결하세요. 연속 조건으로 인수를 찾는 연습과 차분몫의 증가량을 맞추는 연습으로 마무리합니다(19·22번 대비).