용문고등학교
2026년 2학년 2학기 중간고사

용문고 2학년 2학기 중간 미적분I은 어떤 시험인가

용문고등학교는 서울 성북구에 있습니다. 이번 시험은 함수의극한과 함수의연속에서 출발해 미분계수와도함수, 도함수의활용까지 이어집니다. 극한의 연산뿐 아니라 접선, 롤의 정리, 평균값 정리처럼 미분의 의미를 활용하는 개념도 확인해야 합니다.

기본형에서는 그래프의 좌우극한, 곱의 미분법, 접점에서의 접선 방정식을 다룹니다. 여기에 극한 조건으로 다항식의 구조를 정하거나, 연속 조건으로 미정계수를 결정하는 문제가 연결됩니다. 공식을 외운 뒤 곧바로 대입하기보다 그 공식을 적용할 조건이 성립하는지 먼저 살펴보세요.

자동 분류 기준 어려움은 시험 끝에만 모여 있지 않습니다. 3번의 도형과 극한, 9번의 실근 존재 판단을 지나 후반에는 접선의 절편과 중근, 교점 개수의 변화, 함수 관계식의 미분이 이어집니다. 한 문제의 계산이 길어질 때 뒤의 기본형으로 이동할 수 있도록 전체를 훑는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 초반의 도형 극한과 후반의 조건 결합

쉬움 문항은 1·4·10·13·15·18번으로 앞뒤에 분산되어 있습니다. 그래프 읽기, 극한의 대소 관계, 미분계수의 정의와 미분법, 접선과 롤의 정리가 기본 확보 대상입니다. 쉬움이라는 분류만 보고 생략하기보다 좌우 방향과 열린구간 조건을 정확히 확인하세요.

보통 문항에서는 식의 변형을 고르는 일이 중요합니다. 2번은 유리화, 5번은 함수 사이 관계의 재표현, 14번은 나머지 조건을 항등식으로 옮기는 방법이 필요합니다. 11·12번처럼 미분가능성을 다룰 때는 함수가 이어지는지와 기울기가 이어지는지를 나누어 판단해야 합니다.

어려움 문항은 서로 다른 표현을 연결하는 단계가 더해집니다. 20번에서는 교점의 개수가 함수가 되고, 21번에서는 함수 관계식이 차분몫으로 바뀝니다. 이 난이도는 자동 분류 기준이므로 실제 응시자의 체감과 같다고 단정할 수 없으며, 자신의 취약한 전환 단계를 찾아 복습하는 데 활용하세요.

출제 단원 — 미분계수와도함수의 비중과 연속성의 연결

가장 많은 미분계수와도함수는 10~14번과 21·22번입니다. 곱의 미분법을 계산하는 기본형에서 나머지 항등식을 미분하는 활용형으로 확장됩니다. 후반에는 함수의 식이 직접 주어지지 않아도 정의를 이용해 미분계수 관계를 얻는 능력이 필요합니다.

함수의극한은 1~6번에 배치되어 있습니다. 유리식과 무리식의 변형, 무한대에서의 차수 비교, 도형의 길이를 식으로 나타내는 과정이 포함됩니다. 함수의연속은 7~9번과 20번으로, 단순한 연결 조건뿐 아니라 사잇값의 정리와 교점 개수 함수까지 다룹니다.

도함수의활용은 15~19번입니다. 접점을 아는 접선에서 외부의 점을 지나는 접선으로, 이어 접선의 절편과 중근의 관계로 확장됩니다. 롤의 정리와 평균값 정리도 있으므로 접선 계산만 반복하지 말고 각 정리의 가정과 결론을 말로 설명하는 연습을 함께 하세요.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 서울 지역의 같은 과목 시험

같은 2026학년도 2학년 2학기 중간고사 미적분I을 치른 서울 지역 학교들과 견주면, 용문고의 총 문항은 22문항으로 이웃 학교 평균 21.0문항보다 많습니다. 서술·단답형은 1문항으로 평균 4.4문항보다 적습니다. 객관식 중심이지만 조건을 식으로 정리하는 연습은 여전히 필요합니다.

자동 분류 기준 어려움 비율은 27%로 이웃 학교 평균 45%보다 낮으며, 어려움 비율 순서는 11개교 중 10위입니다. 가장 많은 단원은 학교에 따라 함수의연속, 함수의극한, 도함수의활용으로 다릅니다. 용문고는 미분계수와도함수가 중심이므로 정의와 미분가능성부터 다진 뒤 20~22번의 조건 결합으로 나아가는 순서가 적절합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산 전에 경우가 달라지는 지점을 찾아야 한다는 것입니다. 경계와 예외를 먼저 적고 각 경우의 식을 따로 정리하면 중복 계산과 조건 누락을 줄일 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 접근법이 곧바로 보이는 기본형을 먼저 처리하세요. 3번에서 도형의 보조 관계가 떠오르지 않으면 표시하고 다음 문제를 확인하는 방식이 좋습니다. 9번도 근의 존재를 설명하는 논리가 필요하므로, 앞부분이라는 이유로 오래 붙잡기보다 뒤의 미분 계산 문항까지 살펴보세요.

후반에서는 21번이 서술·단답형이라는 점을 미리 확인하세요. 함수 관계식에서 차분몫을 만드는 출발점을 적고, 치환한 입력의 극한 방향을 표시해 두면 풀이를 다시 이어가기 쉽습니다. 20·22번은 구간별 표를 먼저 만들어 계산 대상이 되는 경계와 좌우에서 쓸 식을 정리하세요.

마지막 점검에서는 분모가 사라지는 지점의 정의 여부, 연속 조건의 함숫값, 열린구간의 끝점을 확인하세요. 8번은 합성함수의 접근 방향, 12번은 절댓값에 곱해진 인수, 19번은 범위의 경계가 실제로 가능한지까지 살펴보세요. 계산 결과를 다시 대입하는 검토와 조건이 빠지지 않았는지 보는 검토를 함께 하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 그래프에서 함숫값과 좌우극한을 따로 표시하고, 합성함수의 안쪽 입력이 움직이는 방향을 화살표로 추적하세요(1·8번 대비).
2. 유리식의 인수분해, 무리식의 유리화, 무한대에서의 차수 비교를 복습한 뒤 도형의 길이를 식으로 옮기는 문제로 확장하세요(2~6번 대비).
3. 연속 조건과 사잇값의 정리를 구별해 연습하세요. 근의 존재를 설명할 때는 부호가 다른 지점과 연속인 구간을 함께 적으세요(7·9·20번 대비).
4. 차분몫의 정의와 곱의 미분법을 익히고, 구간별 함수는 연속 확인 후 좌우미분계수를 비교하는 순서를 지키세요(10~14·21·22번 대비).
5. 접점을 아는 경우에서 외부의 점을 지나는 경우로 접선 연습을 넓히고, 절편 조건을 근과 중근의 관계로 바꾸어 보세요(15~17번 대비).
6. 롤의 정리와 평균값 정리의 가정을 문장으로 확인하고, 구간 내부 조건과 경계값의 실현 가능성을 점검하세요(18·19번 대비).