창덕여자고등학교
2023년 2학년 2학기 기말고사

창덕여고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

창덕여자고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료의 출제 범위는 도함수의 활용, 부정적분, 정적분, 정적분의 활용입니다. 접선과 극값에서 출발해 도형의 넓이와 운동의 해석까지 연결됩니다.

단순히 미분하거나 적분하는 것으로 끝나지 않는 문항이 눈에 띕니다. 실근의 개수를 수평선과 곡선의 교점으로 읽고, 모든 실수에서 성립하는 부등식을 최솟값 조건으로 바꾸어야 합니다. 적분에서도 먼저 그래프의 대칭이나 위아래 관계를 확인하면 계산의 방향이 분명해집니다.

서술·단답형의 난도는 일정하지 않습니다. 원뿔 속 물의 부피 변화율을 다루는 19번, 적분과 극한을 연결하는 22번, 구간을 반복해서 나누는 23번 사이에 기본 부정적분과 운동 문항이 섞여 있습니다. 문항의 위치보다 풀이의 출발점이 보이는지를 기준으로 접근하세요.

난이도 분포 — 보통 중심, 후반에 흩어진 어려움 문항

자동 분류 기준 쉬움은 초반의 1·2·3번과 서술·단답형의 21·24번입니다. 정리의 적용, 속도의 부호, 적분상수처럼 기본 개념의 구분이 중요합니다. 쉬움으로 분류되어도 적분변수를 잘못 읽거나 이동거리와 위치를 혼동하면 풀이가 어긋날 수 있습니다.

보통 구간은 4~15번에 길게 이어지고 17·19·22번에도 있습니다. 극값과 실근, 정적분과 대칭, 속도와 위치 등 표현을 바꾸는 연습이 유효합니다. 특히 10번의 극값 판단과 13번의 역함수 넓이는 계산량보다 개념을 선택하는 데 시간이 걸릴 수 있습니다.

어려움은 16번부터 간격을 두고 등장합니다. 16번에서 막혀도 17번을, 20번에서 막혀도 21·22번을 확인하세요. 이 분류는 자동 분류 기준이며 응시자의 체감 난도와 일치한다고 단정할 수 없습니다. 전체 분포를 풀이 순서를 계획하는 참고 자료로 활용하세요.

출제 단원 — 도함수의 활용과 적분의 해석

도함수의활용은 접선, 극값, 실근의 개수, 변화율을 폭넓게 다룹니다. 7·10·20번을 함께 복습하면 도함수의 근을 찾는 일과 실제 극값을 판단하는 일이 어떻게 다른지 확인할 수 있습니다. 근의 중복과 부호 변화까지 적는 습관이 필요합니다.

정적분의활용에서는 넓이와 운동을 함께 준비해야 합니다. 12·17·18번은 교점과 구간별 위아래 관계가 출발점이고, 14·15·24번은 속도의 부호와 초기 위치가 출발점입니다. 같은 적분 계산이라도 넓이·이동거리와 위치 변화량은 부호를 처리하는 방식이 다릅니다.

부정적분은 계산과 미분의 관계를, 정적분은 대칭·고정된 적분값·극한·구간 분할을 확인합니다. 4번과 22번처럼 적분식에서 미분 관계를 꺼내는 유형을 따로 연습하세요. 식을 모두 전개하기 전에 미분과 적분의 연결로 간단해지는지 살펴보는 것이 좋습니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움 문항의 감소와 배치 변화

작년과 올해 모두 수학II 자료입니다. 자동 분류 기준 어려움은 5문항에서 4문항으로 줄었고, 전체 문항은 22문항에서 24문항으로 늘었습니다. 서술·단답형 수는 같으므로 어려움 문항 수의 감소만으로 시험 시간이 여유로웠다고 판단하기는 어렵습니다.

도함수의활용은 9문항에서 10문항으로 늘며 가장 많은 단원을 유지했습니다. 정적분의활용은 6문항에서 7문항, 부정적분은 1문항에서 3문항으로 늘었고 정적분은 6문항에서 4문항으로 줄었습니다. 도함수와 넓이·운동의 해석을 중심에 두면서 기본 적분도 빠짐없이 준비할 필요가 있습니다.

작년 어려움은 5·6·7·8·19번이었고 올해는 16·18·20·23번입니다. 초반에 모여 있던 배치가 후반에 흩어진 배치로 달라졌습니다. 다음 시험 대비에서는 초반 계산의 정확도를 높이고, 후반 조건 해석 문항을 골라 다시 푸는 연습을 병행하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이들은 이용자 투표 순위가 아니라 풀이에서 필요한 조건 변환을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산 전에 구간과 구조를 정해야 한다는 것입니다. 풀이를 복습할 때 첫 식을 선택한 이유까지 설명해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 부호표나 적분구간을 바로 정할 수 있는 문항부터 확보하세요. 16·18·20번에서 조건 변환이 막히면 표시하고 다음 문항을 확인하는 연습이 좋습니다. 특히 21·24번을 마지막에 몰아 두지 않도록 전체 서술·단답형을 먼저 훑어보세요.

계산을 시작하기 전에 조건을 짧게 적으면 검토 시간이 줄어듭니다. 8번은 엄격한 부등호, 10번은 도함수의 중근과 부호 변화, 17·18번은 교점의 순서와 영역의 경계가 중요합니다. 19번에서는 시간에 따른 길이와 부피의 관계부터 적어 변화율 계산의 근거를 남기세요.

마지막에는 부호와 기준 시각을 우선 확인하세요. 14·24번은 이동거리와 위치 변화량을 구분하고, 15번은 초기 높이를 반영해야 합니다. 21번은 적분변수와 적분상수, 23번은 음수 쪽 정수 부분과 합의 끝을 점검하세요. 연습 중에는 계산 시간과 조건을 읽는 시간을 구별해 기록하면 보완할 지점이 드러납니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 롤의 정리·평균값 정리와 접선의 기울기를 복습하세요. 정리의 적용 조건과 접점 후보를 확인하는 순서를 익히세요(1·6번 대비).
2. 도함수의 부호표로 극값과 실근 개수를 연결하세요. 중근이 생기는 경우와 수평선이 접하는 경우를 함께 그려 보세요(7·9·10·20번 대비).
3. 전 구간 부등식과 감소 조건을 최솟값·도함수의 부호로 바꾸세요. 경계 포함 여부를 설명하는 연습을 더하세요(8·16번 대비).
4. 부정적분과 정적분의 기본 성질을 정리하세요. 적분상수, 대칭, 고정된 적분값, 미분계수의 정의를 구분해 적용하세요(3·4·5·11·21·22번 대비).
5. 넓이 문제는 교점과 위아래 관계부터 표시하세요. 기본 넓이에서 역함수의 대칭, 같은 넓이 조건, 영역 분할로 확장하세요(12·13·17·18번 대비).
6. 운동과 변화율은 기준량을 먼저 정하세요. 위치·변위·이동거리의 차이를 설명하고 길이에서 부피로 관계식을 만드는 연습을 하세요(2·14·15·19·24번 대비).
7. 정수 부분 함수는 정수 사이 구간의 식부터 쓰세요. 반복되는 적분과 정수 합을 분리하고 양 끝의 지표를 확인하세요(23번 대비).