서초고등학교
2025년 2학년 2학기 중간고사

서초고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

서초고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 단원은 함수의극한, 함수의연속, 미분계수와도함수, 도함수의활용입니다. 극한값 계산에서 시작해 그래프의 연결과 접선의 관계를 판단하는 구성입니다.

초반에는 직접 대입, 그래프의 불연속점 확인, 미분계수의 정의와 곱의 미분법처럼 기본 개념을 적용합니다. 이후에는 불연속인 함수끼리의 곱, 실근의 개수로 정의한 함수, 절댓값이 포함된 미분가능성처럼 조건을 새 형태로 바꾸어야 하는 문제가 나타납니다.

공식을 아는 것과 공식을 적용할 조건을 아는 것이 함께 요구됩니다. 극한의 성질을 거꾸로 적용해도 되는지, 연속이라는 사실만으로 미분가능성을 말할 수 있는지 확인해야 합니다. 서술·단답형에서는 인수의 구조를 얻은 이유와 제외한 경우의 근거까지 정리하는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 기본형 뒤에 이어지는 조건 해석

쉬움은 1~6번에 모여 있습니다. 극한과 연속의 기초, 미분 공식, 접선의 방정식을 빠르고 정확하게 처리할 구간입니다. 다만 3번의 사잇값 정리는 실근의 정확한 개수를 보장하는 것이 아니라 존재를 보장한다는 점을 구별해야 합니다.

보통은 7~11번과 15·20번입니다. 부등식으로 주어진 함수의 극한이나 나머지 조건을 미분한 항등식으로 바꾸는 등 접근법 선택이 필요합니다. 12~14번에서 막혀도 15번을 확인하고, 객관식 후반의 풀이가 길어지면 20번의 연속 조건을 먼저 살펴보세요.

어려움은 12·13·14·16·17·18·19·21·22번입니다. 그래프 해석과 경우 구분이 여러 단계로 이어지는 경향이 보입니다. 이 분포는 자동 분류 기준이며, 개인별 체감 난도를 확정하는 자료는 아닙니다. 풀이 속도보다 조건을 빠뜨리지 않고 구조를 잡는 연습에 활용하세요.

출제 단원 — 극한과 연속을 중심으로 연결되는 미분

함수의극한은 1·8·9·14·15·21·22번입니다. 직접 대입과 대소 관계에서 시작해 다항식의 인수 결정, 도형의 넓이를 이용한 극한, 절댓값 극한의 존재 조건까지 이어집니다. 같은 극한 문제라도 먼저 찾아야 하는 것이 차수인지, 소거할 인수인지, 좌우의 부호인지 구별하세요.

함수의연속은 2·3·7·13·16·19·20번입니다. 그래프와 사잇값 정리 외에도 주기적으로 이어지는 함수, 두 함숫값 중 작은 값을 택하는 구조, 속도 모형이 포함됩니다. 단원명만 보고 연결점의 계수 결정만 반복하기보다는 그래프를 구간별로 다시 표현하는 유형을 함께 준비해야 합니다.

미분계수와도함수는 4·5·10·11·12·17번이며, 도함수의활용은 6·18번입니다. 12번은 분류상 미분 단원이지만 연속 여부와 좌우미분계수의 판단이 함께 필요합니다. 접선도 6번의 기본 방정식에서 18번의 접선 개수와 예외 상황으로 확장되므로, 문항 수가 적은 단원도 기본형만으로 마무리하지 마세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확정한 난도 순위가 아니라 조건 처리 과정을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 먼저 얻은 조건만으로 풀이를 끝낼 수 없습니다. 후보를 구한 뒤 전체 정의역, 실제 가능한 매개변수, 나눗셈에서 제외한 점으로 돌아오는 검토가 필요합니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~6번의 기본형을 정확하게 처리한 뒤 7~11번에서 조건을 식으로 옮기는 데 집중하세요. 12번 이후에는 그래프를 다시 그리거나 경우를 나누는 시간이 늘어날 수 있습니다. 접근이 바로 보이지 않는 문항은 확인할 조건을 메모하고 넘어가며, 15·20번처럼 자동 분류 기준 보통 문항을 함께 살펴보세요.

서술·단답형은 계산 전에 출발 근거를 짧게 적어 두는 것이 좋습니다. 19번은 어떤 구간에서 어느 함수를 택하는지, 20번은 무한대에서의 극한과 연결점의 연속 조건이 각각 무엇을 정하는지 구별하세요. 21·22번에서는 극한이 존재한다는 조건을 인수로 바꾸는 이유를 적고 나서 계수를 정리하면 풀이의 누락을 줄일 수 있습니다.

마지막 검토에서는 식 전체를 다시 계산하기보다 조건을 확인하세요. 13번은 안쪽 함수가 어느 방향에서 접근하는지, 16번은 열린구간의 끝점과 주기 경계가 근에 포함되는지, 17번은 꺾이는 점이 실제 적용 구간에 있는지가 중요합니다. 21번에서는 양수인 인수로 나눌 수 있는 범위를, 22번에서는 도함수가 사라지는 경우를 놓치지 않았는지 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 극한의 직접 대입과 연속의 정의부터 복습하세요. 그래프에서 좌극한·우극한·함숫값을 따로 적고 사잇값 정리가 보장하는 범위를 설명해 보세요(1·2·3번 대비).
2. 극한을 계산할 형태로 바꾸는 연습을 하세요. 부등식의 정규화, 최고차항 비교, 인수분해, 도형의 넓이 표현을 구별해 적용하세요(8·9·15번 대비).
3. 미분계수의 정의, 곱의 미분법, 접선의 방정식을 연결하세요. 나머지 조건은 항등식을 세운 뒤 미분하여 추가 조건을 얻어 보세요(4·5·6·11번 대비).
4. 연속과 미분가능성을 별도 항목으로 검사하세요. 연결점, 절댓값의 꺾임, 변형한 함수의 함숫값을 차례로 확인하세요(7·10·12·14·17번 대비).
5. 그래프를 구간별로 정리하는 유형을 연습하세요. 수평선과의 교점, 주기별 실근, 작은 함숫값을 택한 그래프를 그려 경계 처리를 확인하세요(13·16·19번 대비).
6. 여러 조건이 이어지는 문제를 마무리하세요. 접선 개수의 예외와 실생활 연속 조건을 정리하고, 극한에서 얻은 인수를 부등식과 중근 판단으로 연결하세요(18·20·21·22번 대비).