영동고등학교
2022년 2학년 2학기 중간고사

영동고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

영동고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 함수의 극한, 함수의 연속, 미분계수와 도함수입니다. 극한의 존재 여부를 구별하는 기본형부터 항등식과 구간별 함수에 미분을 적용하는 문항까지 이어집니다.

극한에서는 대입보다 함수의 구조를 먼저 판단해야 하는 문제가 눈에 띕니다. 무한대에서의 수렴 조건은 다항식의 차수를 제한하고, 분모가 사라지는 지점의 수렴 조건은 분자의 인수와 연결됩니다. 계산이 길어지기 전에 어떤 항이 없어져야 하는지 확인하는 습관이 필요합니다.

연속과 미분은 별개 공식으로 처리하기 어렵습니다. 곱으로 만든 함수가 연속이거나 미분가능하다는 조건은 각 인수가 같은 성질을 가진다는 뜻이 아닙니다. 문제가 요구한 대상이 원래 함수인지, 곱함수인지, 도함수인지 구별한 뒤 조건을 세워야 합니다.

난이도 분포 — 중반부터 이어지는 조건 해석

쉬움은 1번의 극한 존재 판단과 3번의 접선 조건입니다. 이 문항에서는 좌우의 접근 방향, 접점의 함숫값과 미분계수라는 기본 구분을 정확히 적용해야 합니다. 보통 문항도 유리화나 연속 조건을 먼저 정리해야 하므로 단순 대입만으로 접근하지 마세요.

7·8번에서 어려움이 나타난 뒤에도 9·13번에는 보통 문항이 배치되어 있습니다. 막힌 문항 다음에도 접근 가능한 문제가 있으므로 순서대로 끝까지 해결하려고 시간을 쓰지 않는 편이 좋습니다. 14~19번은 모두 어려움으로 분류되어 조건을 해석하고 검증하는 시간이 필요합니다.

서술·단답형 20번은 평균변화율을 함수 관계로 바꾸는 기본기를, 21·22번은 항등식과 극한 또는 연결 조건을 결합하는 능력을 요구합니다. 난이도는 자동 분류 기준이며 응시자의 체감과 같다고 단정할 수 없습니다. 실제 연습에서는 계산 시간과 조건을 찾는 시간을 나누어 점검하세요.

출제 단원 — 미분을 중심으로 극한과 연속 연결

미분계수와도함수는 가장 큰 비중을 차지합니다. 접선의 기울기와 구간별 미분가능성에서 출발해 차분몫의 변형, 함수 항등식, 모든 실수에서 성립하는 부등식까지 확장됩니다. 도함수를 구한 뒤 무엇을 판단해야 하는지까지 묶어 학습하세요.

함수의극한에서는 4·7·8번의 다항식 결정과 19번의 인수 중복도 판단을 함께 볼 만합니다. 무한대의 조건으로 차수를 제한하는 단계와 특정 지점에서 사라지는 인수의 개수를 판단하는 단계를 구분해야 합니다. 12번은 좌표와 넓이 관계를 먼저 식으로 옮기는 과정이 필요합니다.

함수의연속은 2번의 제거 가능한 불연속에서 9번의 역함수 존재, 13번의 곱함수 연속으로 이어집니다. 16번은 실수 전체에서의 연속을 분모의 근과 연결하고, 17번은 그래프의 교점 개수를 다룹니다. 연결점의 값만 맞추는 연습에서 전체 정의역과 그래프까지 검토하는 연습으로 넓히세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 함수식을 전개하기 전에 사라지는 인수와 경계점의 조건을 정리해야 한다는 점입니다. 조건을 얻은 지점과 그 조건을 사용하는 지점을 표시하면 중복 적용이나 누락을 줄일 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 극한의 기본 판단과 접선, 연결점 조건처럼 출발점이 보이는 문제를 먼저 해결하세요. 7·8번에서 함수 형태가 정리되지 않으면 표시하고 다음 문항을 확인하세요. 14~19번을 모두 마친 뒤 서술·단답형을 시작하기보다 20번의 평균변화율 문제를 미리 확인하는 운영을 연습할 만합니다.

서술·단답형은 식을 많이 쓰기보다 근거의 순서를 남기는 것이 중요합니다. 20번에서는 평균변화율의 분모와 기준 함숫값을, 21번에서는 상수함수 제외와 차수 비교를 먼저 적으세요. 22번은 각 구간의 함수와 연결점을 나누어 기록하면 연속 조건과 미분가능 조건을 섞는 실수를 줄일 수 있습니다.

마지막 검토에서는 약분하기 전의 정의역과 등호 포함 여부를 확인하세요. 10·21번의 차분몫은 입력의 변화량과 분모가 같은지, 11번은 서로 다른 접점 조건이 유지되는지 살펴보세요. 16번은 분모의 실근을 약분만으로 무시하지 않았는지, 18번은 모든 실수에서 부등식이 성립하는 범위를 모두 반영했는지 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 극한의 존재와 함수의 연속을 구별하세요. 그래프에서 좌극한·우극한·함숫값을 따로 표시하고, 몫함수의 분모가 사라지는 지점을 확인하세요(1·2·6번 대비).
2. 다항식 결정은 차수 제한부터 시작하세요. 무한대의 극한과 전 구간에서의 유계 조건을 식의 형태로 바꾼 뒤 나머지 계수를 정하세요(4·7·8번 대비).
3. 구간별 함수는 연속을 먼저, 좌우 미분계수를 다음에 확인하세요. 곱함수가 대상일 때는 원래 인수의 불연속과 구별해 조건을 적으세요(5·13·15·22번 대비).
4. 미분계수의 정의를 변형하는 연습을 하세요. 입력의 변화량과 분모의 비율을 표시하고 항등식에서 도함수 관계를 얻어 보세요(10·14·20·21번 대비).
5. 그래프와 방정식 조건을 왕복하며 확인하세요. 축의 위치, 서로 다른 교점, 분모의 실근, 전 구간 부등식의 판별식 조건을 연결하세요(9·11·16·17·18번 대비).
6. 복합 극한에서는 필요한 좌표나 인수 구조를 먼저 정리하세요. 도형 관계를 식으로 바꾸는 문제와 인수의 중복도를 비교하는 문제를 구별해 복습하세요(12·19번 대비).