풍문고등학교
2022년 2학년 2학기 중간고사

풍문고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

풍문고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 범위는 함수의극한, 함수의연속, 미분계수와도함수, 도함수의활용입니다. 유리화와 그래프의 극한 읽기부터 접선의 방정식, 구간별 함수의 미분가능성까지 다룹니다.

기본 계산과 조건 해석의 차이가 분명합니다. 초반에는 극한식 정리나 다항함수의 미분 공식을 적용하지만, 뒤로 가면 극한값이 존재한다는 사실에서 함수의 인수를 추론하거나 그래프의 교점 개수를 새로운 함수로 해석해야 합니다. 공식 암기 뒤에 조건을 식으로 옮기는 연습이 필요합니다.

서술·단답형은 13~20번으로 구성됩니다. 이 구간에서는 식을 얻은 근거와 경우를 나누는 기준을 정리하는 습관이 도움이 됩니다. 특히 연속성을 먼저 확인한 뒤 좌우 미분계수를 비교하는 순서를 지켜야, 도함수 계산만 맞고 조건을 빠뜨리는 실수를 줄일 수 있습니다.

난이도 분포 — 기본 계산 이후 경계 조건의 해석

쉬움 문항은 초반에 배치되어 있습니다. 1번의 유리화, 2번의 편측극한 읽기, 3번의 접선, 4번의 미분 공식, 6번의 연속 조건을 안정적으로 처리하는 것이 출발점입니다. 쉬운 유형도 그래프의 실제 함숫값과 다가가는 높이를 혼동하면 계산 이전에 오류가 생깁니다.

보통 문항은 단순 대입보다 준비 단계가 필요합니다. 5번은 차분식을 미분계수의 정의에 맞게 나누고, 7번은 서로 다른 형태의 극한 조건을 연결합니다. 17~19번에서도 접점의 설정, 보조함수의 부호, 도형의 길이 표현처럼 풀이를 시작할 형태를 고르는 능력이 중요합니다.

어려움은 8번에서 등장하고 11·12번에 이어지며, 서술·단답형에서는 14~16번과 20번에 놓입니다. 분류는 자동 분류 기준으로 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 수치는 아닙니다. 다만 이 문항들은 경계나 예외를 확인하는 단계가 길어, 식을 정리하는 시간과 조건을 검토하는 시간을 함께 확보해야 합니다.

출제 단원 — 극한을 바탕으로 연속과 미분을 연결

함수의극한은 계산형과 함수 결정형을 모두 포함합니다. 1·7번은 유리화와 인수분해를 다루고, 12·13번은 극한 조건으로 다항식의 형태를 좁힙니다. 15·19번은 접선이나 도형에서 식을 만들어야 하므로, 극한 계산 연습만으로 준비를 마치기 어렵습니다.

함수의연속에서는 연속의 정의를 여러 표현에 적용합니다. 8번은 불연속 위치를 다항식의 근과 연결하고, 11번은 그래프에서 만든 함수의 좌우 상태를 살핍니다. 14번은 교점 개수의 변화가 연속 조건으로 이어집니다. 식, 그래프, 개수라는 표현이 달라도 좌극한·우극한·함숫값을 구별하는 원칙은 같습니다.

미분계수와도함수는 공식 계산에서 출발해 구간별 미분가능성으로 확장됩니다. 16·20번에서는 식이 바뀌는 지점을 찾아 연속 여부와 좌우 미분계수를 따로 점검해야 합니다. 도함수의활용에 속한 3·17번의 접선 설정은 다른 단원의 15번에도 쓰이므로, 단원별 학습 뒤 연결 연습을 권합니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

위 문항은 이용자 투표로 확정한 난도 순위가 아니라 조건 처리 구조를 바탕으로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 식이 바뀌는 위치를 먼저 찾아야 한다는 것입니다. 경계 목록을 적고 각 지점의 함숫값, 좌우 극한, 좌우 미분계수를 필요한 순서로 확인하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 초반 기본형을 안정적으로 처리하고, 조건 해석이 길어지는 문제는 표시한 뒤 전체를 확인하세요. 8번에서 막혀도 9·10번을 살펴보고, 14~16번에서 시간이 늘어나면 17~19번의 접근 가능성을 확인하는 운영이 좋습니다. 뒤 번호가 항상 더 어렵다는 전제는 이 시험의 배치와 맞지 않습니다.

서술·단답형은 계산을 시작하기 전 핵심 표현을 짧게 적으세요. 13번은 다항식의 차수와 인수, 17번은 접점과 접선식, 18번은 보조함수의 부호가 출발점입니다. 20번은 거리 제곱의 비교표를 먼저 만들면 경계를 놓치는 일을 줄일 수 있습니다. 연습할 때 식을 만드는 시간과 계산 시간을 나누어 확인해 보세요.

검토는 정의 범위와 경계 조건에 집중하세요. 5번은 증가량의 배수, 10번은 양수 조건, 15번은 기울기가 사라지는 지점과 절댓값이 중요합니다. 18번에서는 사잇값의 정리가 보장하는 존재와 실제 근의 개수를 구별하고, 16·20번에서는 연속이라는 사실만으로 미분가능하다고 결론 내리지 마세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 유리화·인수분해·최고차항 비교를 먼저 복습하세요. 대입하기 전에 극한식이 어떤 형태인지 분류하는 연습을 하세요(1·7·19번 대비).
2. 그래프에서 함숫값과 좌우 극한을 따로 읽으세요. 입력 방향이 바뀌거나 구간별 식을 선택하는 상황까지 확장하세요(2·9·11번 대비).
3. 유한한 극한의 존재를 다항식의 인수 조건으로 바꾸세요. 약분 뒤에도 남은 분모가 사라지는지 재확인하세요(8·12·13번 대비).
4. 미분 공식과 미분계수의 정의를 연결하세요. 증가량이 다른 차분식과 평균변화율을 구별해 표현하세요(4·5·10번 대비).
5. 접점을 매개변수로 두고 접선식을 세우세요. 통과 조건뿐 아니라 축과의 교점, 거리, 정의 범위까지 연결하세요(3·15·17번 대비).
6. 연속성과 사잇값의 정리를 구분해 연습하세요. 교점 개수가 바뀌는 높이와 보조함수의 부호 변화 구간을 각각 표시하세요(6·14·18번 대비).
7. 구간별 함수는 경계 목록을 먼저 만드세요. 연속성을 확인한 뒤 좌우 미분계수를 비교하는 순서로 풀이를 정리하세요(16·20번 대비).