서울고등학교
2025년 2학년 2학기 중간고사

서울고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

서울고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 범위는 함수의극한, 함수의연속, 미분계수와도함수, 도함수의활용입니다. 그래프에서 극한을 읽는 기본형부터 접선과 도형을 연결하는 문제까지 포함되어 있습니다.

초반에는 유리화, 곱의 미분법, 접선의 방정식, 롤의 정리처럼 출발점이 비교적 분명한 문제가 배치됩니다. 중반부터는 연속이나 미분가능하다는 조건을 관계식으로 옮겨야 합니다. 같은 극한식이라도 단순 대입이 가능한지, 약분이 필요한지, 미분계수의 정의로 바꾸어야 하는지를 먼저 판단하세요.

후반에서는 조건의 적용 순서가 중요합니다. 불연속점이 겹친다고 합이 반드시 연속이 되는 것은 아니며, 분모가 사라진다고 극한이 반드시 존재하지 않는 것도 아닙니다. 후보를 찾는 단계와 실제 성립 여부를 검증하는 단계를 나누어 적는 연습이 필요한 시험입니다.

난이도 분포 — 초반 기본형과 후반 조건 해석

자동 분류 기준 쉬움은 1~6번에 모여 있습니다. 그래프의 극한과 함숫값 구별, 무리식의 유리화, 미분 공식 적용을 안정적으로 처리할 구간입니다. 다만 6번처럼 입력의 변화량이 서로 다른 극한에서는 분모를 맞추는 과정에서 부호나 배율을 놓칠 수 있습니다.

보통 구간인 7~13번은 공식 암기만으로 지나가기 어렵습니다. 주기성과 연속성, 사잇값 정리와 전체 실근 개수, 교점 개수와 곱함수의 연속성을 연결합니다. 11·13번의 명제 판단에서는 결론의 모양보다 가정이 충분한지 확인해야 합니다.

14·15번 이후에도 보통으로 분류된 16·19·20번이 섞여 있습니다. 어려움 문항을 만났을 때 뒤를 살펴볼 여지가 있는 구성입니다. 이 분포는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도와 같다고 단정할 수는 없습니다. 서술·단답형의 번호만 보고 가장 오래 걸릴 것으로 예상하는 운영은 피하세요.

출제 단원 — 극한과 미분의 연결, 연속성의 변형

함수의극한은 그래프 해석과 유리화에서 출발해 다항식 결정, 극한 성질의 판단, 접선 도형과의 결합으로 확장됩니다. 8번에서는 무한대에서의 조건과 유한한 지점에서의 조건을 구별하고, 18번에서는 극한의 존재 여부를 다항식의 근과 연결해야 합니다. 극한 계산법을 형태별로만 외우지 말고 그 형태가 되는 이유까지 설명해 보세요.

미분계수와도함수는 공식 계산 외에 정의의 활용이 두드러집니다. 6·9·11·20번은 극한식을 미분계수나 도함수의 정의로 읽는 연습과 연결됩니다. 14번은 평균변화율을 먼저 정리해야 하며, 16번은 경계에서의 미분가능성과 별도 구간에서의 접촉 조건을 구별해야 합니다.

함수의연속은 문항 수만큼이나 변형의 폭을 살펴볼 단원입니다. 12번의 교점 개수, 15번의 반사된 함수와의 합, 21번의 유리식 정의 조건, 22번의 그래프와 연속성 판단이 이어집니다. 도함수의활용으로 분류된 문항은 4·5번이지만, 접선 개념은 다른 단원의 9·17번에도 연결됩니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 제공된 해설과 개념을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 후보를 만드는 조건과 후보를 확정하는 조건이 다르다는 것입니다. 불연속 후보점, 근의 중복도, 계수 후보를 각각 표나 인수 형태로 남겨 두면 검증할 대상을 잃지 않을 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~6번의 기본형을 안정적으로 처리하고, 중반에서는 조건을 식으로 옮길 수 있는 문제부터 확보하세요. 14·15번에서 경우 분류가 길어지면 표시해 두고 16번과 서술·단답형도 확인하세요. 연습 때에는 계산 시간뿐 아니라 첫 관계식을 세우기까지 걸린 시간도 기록하는 것이 좋습니다.

19·20번은 자동 분류 기준 보통이며, 서술·단답형에 필요한 논리를 미리 정리해 둘 수 있습니다. 19번은 유리화 후 유한한 극한이 존재할 조건을, 20번은 기준점의 함수값과 도함수의 정의로 바꾸는 과정을 남기세요. 이후의 21·22번을 검토할 시간이 있도록 전체 문항을 한 번 훑는 순서를 연습하세요.

마지막 검토에서는 답을 다시 계산하기보다 놓친 조건을 확인하세요. 10번은 사잇값 정리의 존재 보장과 전체 실근 개수, 13번은 역수 치환의 접근 방향, 15번은 반사된 입력의 방향이 중요합니다. 16번의 접촉점 범위와 22번의 열린 끝점도 확인하고, 약분한 식은 원래 정의 조건과 구별해 다루세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 그래프의 함숫값·좌극한·우극한을 따로 표시하고, 무리식의 유리화와 공통인수 약분을 복습하세요. 변형 뒤에도 원래 식의 정의 조건을 확인하세요(1·2·19번 대비).
2. 곱의 미분법과 미분계수의 정의를 연결하세요. 기준점의 함수값을 빼고 더하는 방법으로 변화량과 분모를 맞추는 연습을 하세요(3·6·9·11·20번 대비).
3. 연속성 문제는 경계의 좌극한·우극한·함숫값을 표로 비교하세요. 주기 조건과 교점 개수의 변화도 같은 방식으로 정리하세요(7·10·12번 대비).
4. 극한 조건으로 다항식을 결정하는 문제를 연습하세요. 무한대에서는 차수를, 유한한 지점에서는 인수와 중복도를 살피고 분모가 사라지는 예외를 따로 적으세요(8·13·14·18번 대비).
5. 접선과 미분가능성에서는 함수값 조건과 기울기 조건을 분리하세요. 도형 문제는 좌표로 길이와 넓이를 표현한 뒤 극한 계산으로 넘어가세요(4·5·9·16·17번 대비).
6. 반사·이동한 함수의 합, 유리식의 전체 정의역, 열린구간의 그래프를 차례로 연습하세요. 후보를 찾은 뒤 원래 조건에 대조하는 검토까지 풀이에 포함하세요(15·21·22번 대비).