영동일고등학교
2023년 2학년 2학기 기말고사

영동일고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

영동일고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이 시험의 출제 범위는 도함수의 활용, 부정적분, 정적분과 그 활용입니다. 미분으로 함수의 변화를 읽고 적분으로 누적량을 구하는 두 방향을 모두 확인합니다.

기본 문항에서는 계산을 시작하는 기준이 분명합니다. 위치를 미분해 속도나 가속도를 구하거나, 정해진 구간에서 다항함수를 적분합니다. 이때 구하려는 양을 정확히 읽으면 풀이를 짧게 유지할 수 있습니다.

조건이 복합적인 문항에서는 계산 전에 그래프나 함수의 형태를 정해야 합니다. 정적분을 함수로 바라보는 18·19번, 적분 조건으로 다항식을 복원하는 23번이 대표적입니다. 공식 암기와 별도로 조건을 식과 그림에 옮기는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 기본 문항 사이에 놓인 조건 해석

쉬움 문항은 초반뿐 아니라 10·12번과 서술·단답형 20번에도 있습니다. 앞에서 막혔다고 뒤를 모두 어렵게 예상하지 말고, 전체를 훑어 먼저 해결할 문항을 확보하는 편이 좋습니다.

보통 문항에서는 개념을 연결하는 단계가 추가됩니다. 13번은 도형으로 접촉 순간을 정한 뒤 미분하고, 17번은 위치 차의 증감과 거리의 절댓값을 함께 봅니다. 단순 계산 실수보다 문제를 다른 양으로 바꾸어 읽는 실수를 조심하세요.

어려움 문항은 14번 이후에 분포합니다. 다만 15~17번과 20~22번에는 보통 또는 쉬움 문항이 있으므로, 번호순으로 풀다가 어려운 문항에서 오래 머무르면 해결 가능한 문항을 놓칠 수 있습니다.

출제 단원 — 정적분을 함수로 이해하는 힘

가장 많은 정적분 단원은 계산 방식이 다양합니다. 1번의 대칭 구간 적분, 8번의 구간 성질, 12번의 상수 정적분부터 18·19번의 적분함수 분석까지 이어집니다. 같은 단원이라도 무엇을 상수로 보고 무엇을 변수로 보는지에 따라 접근이 달라집니다.

도함수의활용에서는 운동과 그래프 해석을 함께 묻습니다. 정적분의활용에서는 위치 변화량과 움직인 거리, 곡선 사이 넓이를 구별해야 합니다. 특히 24번은 역함수 존재 조건까지 연결하므로 넓이 공식만으로 접근하기 어렵습니다.

부정적분은 6번에 출제됐지만 적분상수 결정과 극소 조건을 함께 사용합니다. 문항 수가 적다는 이유로 생략하기보다, 도함수의 부호표와 함수 복원을 연결하는 기본 연습으로 활용하세요.

문항별 정리

아래 난이도는 자동 분류 기준입니다. 각 문항의 핵심 개념과 풀이를 시작할 때 확인할 조건을 정리했습니다.

작년 시험과 비교 — 어려움은 줄고 서술·단답은 증가

작년과 올해 모두 수학II이고 총 문항 수는 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 8문항에서 5문항으로 줄고 쉬움은 3문항에서 9문항으로 늘었습니다. 반면 서술·단답형은 3문항에서 5문항으로 늘었으므로, 난이도 분포 변화만 보고 답안 작성 부담까지 줄었다고 판단해서는 안 됩니다.

작년에는 도함수의활용이 10문항으로 가장 많았고 올해는 정적분이 9문항으로 가장 많습니다. 정적분은 작년 7문항, 정적분의활용은 작년 5문항에서 올해 7문항으로 바뀌었습니다. 미분으로 그래프를 읽는 바탕 위에 적분식의 구조를 해석하는 연습을 더할 필요가 있습니다.

작년 어려움 문항은 13·16·17·18·19·22·23·24번이었고 올해는 14·18·19·23·24번입니다. 두 해 모두 후반부에 어려움이 이어지지만, 올해는 그 사이에서 기본 문항을 확보할 여지가 있습니다. 다음 시험 대비에서는 기본형 처리와 적분함수 조건 분석을 나누어 연습하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

세 문항은 적분을 곧바로 계산하기보다 조건으로 가능한 함수나 구간을 먼저 좁힌다는 공통점이 있습니다. 이용자 투표에 따른 순위가 아닌 분석상 고난도 문항이며, 조건 정리에서 막힌 부분과 계산에서 막힌 부분을 구별해 복습하는 것이 좋습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 미분·적분과 짧은 그래프 해석 문항을 먼저 확보하세요. 14번에서 절댓값 그래프의 경우가 정리되지 않거나 18·19번에서 접합 조건을 세우지 못하면 표시하고 넘어가세요. 서술·단답형 20~22번을 확인한 뒤 다시 돌아오는 순서도 연습할 만합니다.

운동 문항에서는 위치 변화량, 움직인 거리, 원점에서의 거리, 두 점 사이 거리를 각각 구분하세요. 5·9·10·17번의 구하려는 양을 풀이 첫 줄에 적어 두면 부호와 초기 위치를 점검하기 쉽습니다. 20번에서는 미분 횟수도 확인해야 합니다.

마지막 검토에서는 8번의 적분 방향, 14번의 경계 높이, 16·22번의 절댓값 분기점을 확인하세요. 18·19번은 연속과 미분가능성을 구분하고, 24번은 역함수 조건을 만족한 뒤 넓이를 구했는지 되짚으세요. 서술·단답형 풀이에는 구간을 나눈 이유와 조건을 적용한 식을 함께 남기는 연습이 필요합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 기본 미분과 운동량 구별부터 점검하세요. 위치·속도·가속도를 말로 설명한 뒤 미분 횟수를 정합니다(2·20번 대비).
2. 정적분의 대칭성, 구간 합성, 고정 구간 적분의 상수 처리를 익히세요. 계산 전 줄일 수 있는 식을 찾습니다(1·4·8·12번 대비).
3. 부호 있는 누적량과 절댓값의 합을 나누어 연습하세요. 같은 속도 자료로 위치와 거리를 각각 정리합니다(5·9·10·17번 대비).
4. 절댓값 그래프와 제한된 범위의 최댓값을 연습하세요. 분기점과 경계값을 표시하고 치환 뒤 범위도 다시 적습니다(7·11·14·15·16·22번 대비).
5. 적분함수의 도함수와 접합 조건을 정리하세요. 함수값, 좌우 기울기, 증감을 각각 확인하는 순서로 풀어 보세요(18·19·21번 대비).
6. 조건으로 함수를 복원한 뒤 넓이까지 연결하세요. 극소 조건, 이동 구간 적분, 역함수 존재 조건을 식으로 바꾸는 연습을 마무리합니다(6·13·23·24번 대비).