영동일고등학교
2024년 2학년 2학기 기말고사

영동일고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

영동일고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 범위는 부정적분, 정적분, 정적분의활용, 도함수의활용입니다. 도함수에서 원함수를 찾는 과정과 위치·속도·거리의 관계, 그래프의 교점과 넓이를 함께 다룹니다.

초반에는 부정적분의 정의, 위치의 미분, 곡선과 직선 사이의 넓이처럼 기본 관계를 정확히 적용하는 문제가 나옵니다. 중반부터는 적분을 포함한 등식을 미분하거나 일정한 구간의 정적분을 상수로 놓는 등, 계산을 시작하기 위한 식의 정리가 필요합니다.

후반에서는 함수의 부호와 극값을 이용해 가능한 상황을 좁혀야 합니다. 도함수 그래프를 원함수의 개형으로 옮기는 문제와 실근 개수를 수평선의 교점으로 바꾸는 문제가 연결됩니다. 공식 암기와 함께 조건을 그래프에 표시하는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 초반 기본형과 후반 그래프 해석

1~8번은 모두 자동 분류 기준 쉬움입니다. 미분과 적분의 관계, 적분상수, 적분구간의 방향, 넓이의 부호를 정확히 구별하면 접근할 수 있습니다. 이 구간에서 기본 개념을 빠뜨리지 않고 처리하는 것이 후반 검토 시간을 확보하는 출발점입니다.

9~13번과 15번은 보통이며, 14번에서 어려움 문항이 먼저 등장합니다. 14번의 치환과 최솟값 판단이 막히더라도 다음 문항을 확인하세요. 16~19번은 어려움이 이어지며, 운동 방향의 변화나 중근 조건을 그래프로 해석해야 하므로 식만 길게 전개하면 부담이 커집니다.

20~22번은 모두 보통인 서술·단답형이고 23·24번은 다시 어려움인 객관식입니다. 형식과 난이도가 일치하지 않는 배치입니다. 이 분류는 자동 분류 기준으로, 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료는 아니며 각자 익숙한 유형에 따라 풀이 순서를 조정할 필요가 있습니다.

출제 단원 — 부정적분에서 함수 복원과 그래프 판단으로

부정적분은 기본 정의를 묻는 초반부터 함수의 그래프와 정수 입력의 부호를 판단하는 23번까지 이어집니다. 같은 단원이라도 단순 적분 계산만 반복해서는 충분하지 않습니다. 초기 조건으로 적분상수를 정하고, 도함수의 부호에서 원함수의 증감을 읽는 과정을 함께 익히세요.

도함수의활용은 2·11·14·16·19·24번입니다. 속도 계산, 교점 개수, 구간에서의 최솟값, 접하는 조건으로 범위가 넓습니다. 특히 어려움에 해당하는 14·16·19·24번은 계산식보다 정의역과 극값, 중근의 위치를 먼저 정리하는 것이 중요합니다.

정적분의활용은 넓이와 운동 문제를 모두 포함합니다. 13번은 넓이의 같음을 부호 있는 적분으로 바꾸고, 18번은 대칭인 영역과 공통 부분을 구별합니다. 정적분의 9·12번도 상수인 적분과 변하는 구간의 적분을 구별해야 하므로, 적분 기호를 본 즉시 계산부터 시작하지 마세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 부정적분 비중과 객관식 후반의 변화

작년과 올해 모두 같은 과목인 수학II이며 총 문항 수는 같습니다. 서술·단답형은 작년 20~24번에서 올해 20~22번으로 줄었습니다. 자동 분류 기준 어려움은 작년 5문항에서 올해 7문항으로 늘었고, 쉬움과 보통은 각각 줄었습니다. 형식별 문항 수만으로 풀이 부담을 판단하기 어려운 변화입니다.

작년에는 정적분이 9문항으로 가장 많았지만 올해는 부정적분이 9문항으로 중심을 이룹니다. 부정적분은 작년 1문항이었고, 정적분은 올해 3문항입니다. 도함수의활용과 정적분의활용은 작년 각각 7문항에서 올해 각각 6문항으로 바뀌었습니다. 기본 적분에 함수 복원과 그래프 해석을 결합해 준비할 필요가 있습니다.

작년 어려움은 14·18·19·23·24번이었고 올해는 여기에 해당하는 위치뿐 아니라 16·17번도 어려움으로 분류됩니다. 특히 마지막 23·24번은 작년 서술·단답형에서 올해 객관식으로 바뀌었습니다. 다음 시험 준비에서는 문항 형식보다 조건 처리 단계에 주목하고, 부정적분과 교점 개수 문제를 함께 연습하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 조건을 옮기는 단계가 많은 분석상 고난도 문항으로 골랐습니다. 이용자 투표로 확인된 난도 순위는 아닙니다. 공통적으로 계산 전에 보조 그래프나 영역 표시가 필요하므로, 식을 길게 쓰기보다 무엇의 부호·높이·교점인지 먼저 적어 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~8번의 기본 관계를 빠르게 확인하고, 9~13번에서 상수 처리와 미분할 대상을 구별하세요. 14번에서 치환 뒤의 구간을 잡지 못하거나 16~19번에서 경우 분류가 길어지면 표시하고 넘어가세요. 전체 문항을 확인한 뒤 접근 가능한 유형부터 마무리하는 연습이 도움이 됩니다.

20~22번은 서술·단답형이지만 자동 분류 기준 모두 보통입니다. 23·24번 전에 이 구간을 위한 시간을 남겨 두세요. 20번은 구간마다 다른 적분상수와 연속성, 21번은 극값의 존재, 22번은 초기 위치와 거리 함수의 부호를 풀이에 명확히 적어 조건 누락을 줄이세요.

검토할 때는 적분값 자체보다 구간과 부호를 먼저 보세요. 6·9번은 절댓값, 13번은 넓이의 같음, 15번은 평행이동에 따른 높이 변화가 핵심입니다. 14번의 치환 범위와 16번의 출발 후 시간 조건을 확인하고, 19·24번은 접점과 서로 다른 실근의 개수를 다시 대조하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 부정적분의 정의와 미분의 관계를 먼저 정리하세요. 원함수를 복원한 뒤 다시 미분해 확인하는 연습으로 적분상수 누락을 줄이세요(1·3·4·5번 대비).
2. 적분을 포함한 등식은 일정한 구간의 적분과 변하는 함수를 구별하세요. 상수로 놓기와 양변 미분 중 알맞은 출발점을 고르세요(9·10·12번 대비).
3. 넓이와 거리는 부호표부터 그리세요. 교점에서 구간을 나누고 넓이의 합과 부호 있는 적분의 차이를 설명해 보세요(6·7·13·18번 대비).
4. 원함수 복원에 연속성과 극값 조건을 연결하세요. 구간별 적분상수를 정하고 원함수의 증감과 대칭성을 확인하세요(17·20·21·23번 대비).
5. 속도와 위치의 관계를 운동 문제에 적용하세요. 방향 전환은 속도의 부호 변화로, 두 점의 거리는 위치 차이의 절댓값으로 구별하세요(2·16·22번 대비).
6. 그래프의 극값과 수평선의 위치로 교점 개수를 정리하세요. 접하는 경계와 중근, 근의 배열을 단계별로 확인하세요(11·19·24번 대비).
7. 치환과 평행이동 조건을 별도로 복습하세요. 치환한 변수의 범위를 적고, 기준 구간으로 옮겼을 때 함수 높이가 어떻게 변하는지 확인하세요(14·15번 대비).