진선여자고등학교
2024년 2학년 2학기 기말고사

진선여자고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

진선여자고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이 회차의 출제 단원은 미분계수와 도함수, 도함수의 활용, 부정적분, 정적분과 그 활용입니다. 접선의 기울기와 부정적분의 기본 계산부터 적분으로 정의된 함수의 성질까지 확인합니다.

기본형과 조건 해석형의 차이가 뚜렷합니다. 앞부분에서는 대칭구간의 정적분, 접선 기울기, 닫힌 구간의 최솟값을 다루지만, 중간부터는 함수의 합과 곱, 실근 개수, 극값과 미분가능성을 결합합니다. 공식의 적용 가능 여부를 판단하는 과정이 계산보다 먼저 필요합니다.

서술·단답형이 마지막에 한꺼번에 모인 구성도 아닙니다. 13~15번 뒤에 객관식과 서술·단답형이 섞여 있으므로 문제 형식을 먼저 확인하세요. 자동 분류 기준으로 기본 문항도 뒤에 남아 있어, 중간의 어려운 문항에 묶이지 않고 풀 수 있는 문제를 확보하는 운영이 필요합니다.

난이도 분포 — 중간 구간에 이어지는 조건 해석형

난이도는 모두 자동 분류 기준입니다. 1·2번은 정적분의 성질과 미분의 기본 적용을 확인하며, 3~5번에서는 극한을 미분계수로 해석하거나 최솟값과 역함수의 대칭성을 이용해야 합니다. 앞부분부터 계산 전에 개념을 선택하는 연습이 필요합니다.

6~12번은 모두 어려움으로 분류돼 있습니다. 구간별 함수 결정, 운동 방향, 교점 개수, 절댓값의 미분가능성처럼 서로 다른 조건 해석이 이어져 한 가지 풀이 방식만 반복하기 어렵습니다. 접근이 잡히지 않는 문항은 필요한 조건을 짧게 적어 두고 다음 문제로 이동하세요.

뒤쪽에서는 13·15번과 14·19번을 먼저 살펴볼 가치가 있습니다. 서술·단답형이라는 이유만으로 부담을 크게 잡을 필요는 없습니다. 다만 17번은 넓이 조건과 교점의 범위를 함께 처리해야 하므로 기본 넓이 계산 문항과 구별해 시간을 남겨 두세요.

출제 단원 — 정적분과 활용이 중심

가장 많은 단원은 정적분입니다. 단순한 다항식 적분뿐 아니라 누적 적분함수의 극값, 대칭성과 주기성, 절댓값과 연속성을 함께 다룹니다. 정적분 단원으로 분류됐더라도 실제 풀이에서는 도함수의 부호와 그래프 개형을 먼저 판단해야 하는 경우가 있습니다.

정적분의 활용에서는 곡선 사이의 넓이와 운동이 나옵니다. 14번의 곡선과 직선 사이 넓이를 출발점으로, 19번의 구간별 대소관계, 17번의 넓이 등식으로 확장해 연습하세요. 15번은 위치변화량과 운동 방향을 구별하는 기본 점검에 적합합니다.

미분 영역도 별도로 챙겨야 합니다. 7·9번에서는 영점과 극값을 이용해 방향 변화나 교점 수를 판단하고, 10번에서는 롤의 정리와 절댓값의 미분가능성을 연결합니다. 미분을 마친 뒤 적분만 반복하기보다 부호표와 근의 중복도를 함께 복습하는 편이 도움이 됩니다.

문항별 정리

각 문항의 핵심 개념과 주의점을 정리했습니다. 아래 난이도 표시는 자동 분류 기준이며, 원문의 구체적인 수치와 식은 옮기지 않았습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

위 문항은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 이용자 투표로 순위를 확정한 것이 아닌 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 식을 계산하기 전에 조건의 표현을 바꿔야 한다는 점입니다. 복습할 때는 계산 과정보다 먼저 어떤 조건을 어떤 그래프나 부호 조건으로 바꿨는지 설명해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~5번의 접근을 확인한 뒤 중간 구간에서 막힐 경우 뒤쪽 문항도 살펴보세요. 13·15번은 자동 분류 기준 쉬움이고 14·19번은 보통입니다. 6~12번을 모두 해결한 다음에야 뒤로 이동하는 방식은 기본 문항을 확인할 기회를 줄일 수 있습니다.

조건 해석형에서는 풀이를 시작하기 전에 부호표나 간단한 그래프를 남겨 두세요. 8·9번은 극값 높이와 경계점의 포함 여부, 10·12·18번은 영점의 중복도와 좌우 미분계수가 중요합니다. 경우를 나누는 기준이 잡히지 않은 상태에서 전개를 계속하기보다 필요한 조건부터 다시 읽는 편이 좋습니다.

마지막 검토에서는 15번의 위치변화량과 이동거리 구별, 19번의 구간별 부호, 17번의 교점 범위를 우선 확인하세요. 16번은 적분구간을 옮길 때 다항식 부분도 바뀌는지 점검해야 합니다. 서술·단답형에는 적분구간과 조건을 적용한 근거를 남겨 자신의 계산을 되짚을 수 있게 하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 미분과 적분의 기본 관계부터 확인하세요. 접선 기울기, 적분상수 결정, 적분함수의 극한을 각각 설명하고 계산합니다(2·3·13번 대비).
2. 넓이와 운동의 기본형을 묶어 연습하세요. 교점과 부호표로 적분구간을 정하고 위치변화량과 이동거리를 구별합니다(14·15·19번 대비).
3. 대칭성과 주기성을 이용하는 적분을 연습하세요. 기준 구간으로 옮긴 뒤 사라지는 항과 남는 항을 구별합니다(1·6·16번 대비).
4. 도함수의 부호와 근의 위치를 그래프로 연결하세요. 끝점 비교, 운동 방향 변화, 수평선과의 교점 수를 차례로 확인합니다(4·7·9번 대비).
5. 적분으로 정의된 함수는 미분한 식과 원래 함수의 부호를 나란히 정리하세요. 극값 조건과 교점 개수 조건을 서로 다른 방식으로 표현해 봅니다(8·11번 대비).
6. 절댓값과 미분가능성은 영점의 중복도까지 검토하세요. 바깥 인수나 곱의 다른 인수가 미분가능성에 주는 영향도 확인합니다(10·12·18번 대비).
7. 마지막으로 도형의 전체 넓이와 부분 넓이를 연결하는 연습을 하세요. 대칭성이나 넓이 등식으로 미지수를 줄인 뒤 교점의 허용 범위를 확인합니다(5·17번 대비).