보성고등학교
2023년 2학년 2학기 기말고사

보성고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

보성고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 범위는 도함수의 활용, 정적분, 정적분의 활용입니다. 함수의 증가와 감소, 극값, 접선, 운동에서 시작해 적분으로 정의한 함수와 역함수의 넓이 관계까지 다룹니다.

풀이의 출발점은 조건을 그래프로 번역하는 데 있습니다. 접선의 개수는 접점에 관한 방정식의 실근 개수로, 극값의 존재는 도함수의 부호 변화로 바꿉니다. 적분 조건도 먼저 미분하거나 넓이 관계로 해석하면 필요한 함수의 형태를 좁힐 수 있습니다.

후반에는 절댓값과 구간별 정의, 중근, 교점 개수 같은 조건이 결합됩니다. 식을 복원한 것만으로 풀이가 끝나지 않으며, 얻은 함수가 원래 조건을 만족하는지 확인해야 합니다. 계산을 길게 이어가기 전에 각 조건이 함수의 어느 성질을 제한하는지 적어 보세요.

난이도 분포 — 후반에 이어지는 조건 해석

자동 분류 기준 보통 문항은 초반에 모여 있습니다. 이 구간도 극점 사이의 거리, 운동 방향 전환, 대칭구간의 적분처럼 개념을 정확히 선택해야 합니다. 공식을 많이 쓰기보다 어떤 양을 구하는지 먼저 구별하면 불필요한 계산을 줄일 수 있습니다.

6번에서 역함수의 존재와 증가 조건을 연결한 뒤 7~9번은 보통으로 돌아옵니다. 10~22번은 모두 어려움으로 분류되므로 앞에서 막혔을 때 뒤 문제를 확인하는 운영이 필요합니다. 자동 분류 결과를 실제 응시자의 체감 난도와 동일하게 단정할 수는 없지만, 후반을 위한 검토 시간을 확보할 근거는 됩니다.

출제 단원 — 도함수의 활용이 중심인 미적분 연결

도함수의 활용은 전체의 절반입니다. 1·4번의 극값과 증감에서 8번의 접선 개수로 이어지고, 16·17번에서는 절댓값이나 구간 조건이 함수의 모양을 제한합니다. 20·21번까지 대비하려면 도함수의 근을 구한 뒤 반드시 구간별 부호와 극값을 함께 표시하세요.

정적분에서는 3번의 대칭성과 9번의 상수 치환이 기본 출발점입니다. 12·15번은 적분으로 정의된 함수를 미분해 극값 조건을 읽고, 18·19번은 미분가능성과 접촉 조건까지 연결합니다. 적분값을 바로 계산하기 전에 미분으로 구조를 드러낼 수 있는지 확인하세요.

정적분의 활용은 넓이와 운동, 역함수를 다룹니다. 5번은 접선을 구한 뒤 넓이를 설정하고, 7번은 이동 거리와 위치 변화량을 구별합니다. 14번은 원의 활꼴과 포물선 사이 영역의 관계, 22번은 원함수와 역함수의 대칭 관계를 활용하므로 도형을 그리는 연습이 필요합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 같은 과목에서 후반 부담 확대

작년과 올해는 모두 수학II입니다. 자동 분류 기준 어려움은 5문항에서 14문항으로 늘고 쉬움은 4문항에서 0문항으로 줄었습니다. 서술·단답형이 5문항에서 1문항으로 줄었다고 해서 부담이 작아졌다고 해석하기 어렵습니다. 객관식에서도 복합 조건을 처리하는 연습이 필요합니다.

도함수의 활용은 9문항에서 11문항으로 늘어 가장 많은 단원을 유지했습니다. 정적분은 5문항에서 7문항, 정적분의 활용은 3문항에서 4문항으로 늘었습니다. 작년의 부정적분과 미분계수와도함수 분류는 올해 별도 단원으로 나타나지 않지만, 실제 풀이에서는 미분과 적분의 기본 계산이 계속 필요합니다.

작년 어려움은 13·14·18·19·20번이었지만 올해는 6번에서 시작해 10~22번에 이어집니다. 작년 배치에 맞춰 후반 일부만 집중하기보다, 중간 번호에서도 조건 해석 문제를 만날 수 있게 준비하세요. 기본형의 속도를 확보한 뒤 부호표와 경우 분류를 끝까지 완성하는 연습으로 확장하는 편이 좋습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 정한 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산 뒤에도 존재 조건과 개수를 다시 확인해야 한다는 것입니다. 중근, 접촉, 열린 경계처럼 그래프의 작은 차이가 결론을 바꾸는 지점을 표시해 두세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~5번과 7~9번에서 접근이 보이는 문항을 먼저 확보하세요. 6번의 명제 검토가 길어지면 표시하고 넘어가도 됩니다. 10번 이후에는 어려움이 이어지므로 번호순으로 모두 해결하려 하기보다 인수 구조나 그래프가 바로 보이는 문항을 찾아보세요.

후반 문항에서는 계산 전에 짧은 부호표나 스케치를 남기세요. 12·15·21번은 도함수의 근과 부호 변화가 다르고, 16·18번은 절댓값 내부가 사라져도 미분가능할 수 있습니다. 연습할 때 조건을 해석하는 시간과 계산 시간을 나누어 기록하면 어디서 멈추는지 확인할 수 있습니다.

마지막 검토는 조건 누락에 집중하세요. 7번에서는 거리와 변위, 14번에서는 변환된 근과 실제 교점, 20번에서는 열린 경계를 확인하세요. 서술·단답형 22번을 위한 시간도 남겨 두고, 증가성으로 교점을 해석한 이유와 역함수의 대칭으로 넓이를 연결한 근거를 정리하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 증가·감소와 극값의 기본을 복습하세요. 도함수의 근을 표시한 다음 부호가 바뀌는지 반드시 확인하세요(1·4·6번 대비).
2. 운동 문제에서 위치·속도·가속도의 관계를 정리하세요. 방향 전환과 이동 거리는 속도의 부호표를 공통 출발점으로 삼으세요(2·7번 대비).
3. 적분의 가법성과 대칭성, 고정 구간 적분의 상수 치환을 익히세요. 적분변수와 외부 변수를 구별하는 습관을 들이세요(3·9·13번 대비).
4. 접선과 교점 개수를 그래프로 해석하세요. 접점에 관한 방정식이나 중근 조건으로 바꾸고 실제 교점 수를 검증하세요(5·8·11·14·17·19번 대비).
5. 적분으로 정의한 함수를 미분해 조건을 읽으세요. 인수분해를 유지한 채 근의 순서와 중복을 확인하는 연습을 하세요(10·12·15·21번 대비).
6. 절댓값과 구간별 함수에서는 접합점의 연속성과 좌우 미분계수를 확인하세요. 열린 경계와 내부 극값의 비교도 함께 연습하세요(16·18·20번 대비).
7. 원함수와 역함수의 그래프를 함께 그리고 넓이의 합과 차를 설명하세요. 계산식 앞에 대칭성과 교점에 관한 근거를 적어 보세요(22번 대비).