보인고등학교
2024년 2학년 2학기 기말고사

보인고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

보인고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이 회차 자료에서 확인되는 범위는 도함수의 활용, 부정적분, 정적분과 그 활용을 중심으로 연속성과 미분계수까지 이어집니다. 적분 단원만 따로 준비하기보다 미분으로 그래프를 읽는 능력을 함께 갖춰야 합니다.

초반에는 부정적분의 정의와 다항함수의 극값을 확인하지만, 중반부터는 조건을 해석해 새로운 함수의 성질을 추적합니다. 수평선을 움직이며 교점을 세거나 절댓값을 씌운 뒤의 미분가능성을 판단하는 등, 같은 계산 결과를 여러 관점에서 활용해야 합니다.

서술·단답형은 끝에만 모여 있지 않습니다. 위치의 변화량을 다루는 16번, 넓이를 다루는 20번은 자동 분류 기준 보통이므로 앞의 어려운 객관식에 오래 머무르다가 놓치지 않아야 합니다. 풀이 순서를 번호 순서와 반드시 일치시킬 필요는 없습니다.

난이도 분포 — 중반부터 이어지는 어려움 구간

쉬움은 1·2번입니다. 적분상수의 의미와 도함수 부호에 따른 극값 판정을 정확히 처리하는 구간입니다. 보통인 3~8번도 그래프와 조건의 해석이 필요하므로, 단순히 계산만 빨리 하는 방식보다는 먼저 사용할 개념을 골라야 합니다.

9~15번에서는 평행이동한 함수의 적분, 교점 개수, 매개변수를 포함한 최대·최소가 이어집니다. 자동 분류 기준 어려움이 연속되는 구간이므로 한 문항을 해결하지 못했다고 뒤 문항까지 같은 접근으로 밀어붙이기보다, 도형·적분·그래프 중 자신 있는 유형을 먼저 고르는 편이 좋습니다.

후반에도 난도가 일정하지 않습니다. 16·20번은 보통, 17·18·19·21번은 어려움으로 분류됩니다. 난이도는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료는 아닙니다. 자신의 풀이에서 조건 해석과 계산 중 어느 단계에 시간이 드는지 따로 확인하세요.

출제 단원 — 도함수 활용을 중심으로 적분과 연결

도함수의활용은 극값을 직접 구하는 2번에서 출발해 실근 개수와 구간별 최적값까지 확장됩니다. 특히 10·11·17번은 수평선과 그래프의 관계를 읽어야 하므로, 도함수의 근을 찾는 것으로 풀이가 끝나지 않습니다. 극값의 높이와 정의역의 경계도 함께 표시해야 합니다.

정적분에서는 계산 공식보다 적분으로 정의한 함수를 미분해 개형을 얻는 과정이 눈에 띕니다. 5번은 절댓값의 미분가능성, 12번은 최대·최소, 19번은 극값과 미분불가능한 점의 구분으로 이어집니다. 적분 함수의 정의를 읽을 때 어느 끝에 변수가 있는지 먼저 확인하세요.

정적분의활용에서는 운동과 넓이를 모두 다룹니다. 4·16번은 속도의 부호와 위치 변화를, 8·20번은 적분값과 도형의 넓이 사이의 관계를 확인합니다. 함수의연속인 18번과 미분계수와도함수인 21번도 그래프 해석을 요구하므로, 단원 이름만으로 풀이 난도를 예상하기는 어렵습니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 정적분 중심에서 도함수 활용 중심으로

작년과 올해는 모두 수학II이며 총 문항 수와 서술·단답형 수가 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 작년 14문항에서 올해 11문항으로 줄었고 쉬움이 생겼습니다. 다만 분류 개수만으로 실제 점수의 상승이나 시험 시간의 여유를 단정할 수는 없습니다.

작년에는 정적분이 가장 많았지만 올해에는 도함수의활용이 가장 많습니다. 정적분은 작년 11문항에서 올해 5문항으로, 도함수의활용은 작년 4문항에서 올해 9문항으로 바뀌었습니다. 겹치는 범위를 복습할 때 적분 계산에만 치우치지 말고 최대·최소와 실근 개수 해석을 함께 강화하세요.

작년 어려움은 5·6·7번부터 등장했으나 올해에는 9번부터 집중됩니다. 서술·단답형 번호도 작년 16·17·18·20번에서 올해 16·19·20·21번으로 바뀌었습니다. 다음 시험 준비에서는 작년 배치에 맞춘 고정 시간표보다, 실제 시험지를 훑어 풀 수 있는 문항을 먼저 찾는 연습이 필요합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 새로 정의된 함수의 성질을 원래 함수의 그래프로 환원한다는 공통점이 있습니다. 미분 계산을 시작하기 전에 정의를 풀어 쓰고, 조건이 바뀌는 지점을 표시하는 것이 좋습니다. 여기서 고른 문항은 풀이 구조에 따른 분석상 고난도 문항이며 이용자 투표로 확정한 순위가 아닙니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 검토에서는 1~8번의 기본·연결 문항을 안정적으로 처리하고, 서술·단답형의 위치도 함께 확인하세요. 9번 이후에는 풀이의 첫 단계가 떠오르는 문항부터 접근하는 편이 좋습니다. 같은 식을 반복해서 전개하고 있다면 필요한 그래프나 경우 구분을 빠뜨렸는지 점검한 뒤 재도전 표시를 남기세요.

16·20번은 어려운 문항 사이에 있으므로 답안 작성 시간을 미리 남겨 두세요. 16번은 위치 조건으로 상수를 정하는 과정과 방향 전환 확인을, 20번은 교점 검증과 위아래 그래프 판정을 구분해 적는 연습이 필요합니다. 검산할 때는 계산 전체를 되풀이하기보다 적분 구간과 부호부터 확인하는 편이 효율적입니다.

공통 점검 사항은 경계의 포함 여부, 중복된 교점, 절댓값의 접합 조건입니다. 11·17번에서는 열린 경계와 닫힌 경계를 표시하고, 12번에서는 끝점까지 비교하세요. 18·19번은 영점의 중복도와 좌우 거동을 확인해야 하며, 21번에서는 극값 높이와 일치하는 경계 경우를 빠뜨리지 않아야 합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 정의와 기본 계산부터 점검하세요. 적분상수와 도함수 부호표를 말로 설명하고 계산 결과를 원래 함수에 되돌려 확인합니다(1·2번 대비).
2. 닫힌구간의 최대·최소를 정리하세요. 임계점과 끝점을 표에 함께 적은 뒤 부등식 조건으로 옮기는 연습을 합니다(7·12·14번 대비).
3. 수평선의 높이에 따른 교점 개수 표를 만드세요. 극값과 경계 높이에서는 별도 행을 두고 정의역 조건을 확인합니다(3·10·11·17·21번 대비).
4. 절댓값과 접합 조건을 집중 연습하세요. 영점의 중복도, 부호 변화, 좌우 기울기를 나누어 기록합니다(5·15·18·19번 대비).
5. 정적분의 대칭과 구간 분할을 익히세요. 평행이동한 기본 구간과 마지막 부분 구간을 구분하고, 적분값과 넓이를 따로 해석합니다(6·8·9번 대비).
6. 운동과 도형 문제로 마무리하세요. 속도의 부호, 교점의 원래 조건, 길이 변수의 범위를 먼저 적고 풀이를 시작합니다(4·13·16·20번 대비).