영동일고등학교
2022년 2학년 2학기 기말고사

영동일고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

영동일고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 제공된 자료에서 확인되는 출제 단원은 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용입니다. 다항함수의 미분과 적분을 바탕으로 최대·최소, 방정식의 실근, 넓이와 움직인 거리를 연결합니다.

초반에는 부정적분의 계산과 닫힌구간에서의 최댓값처럼 익숙한 개념을 확인합니다. 이어 도함수의 부호를 이용한 부등식 판단, 교점 개수를 나타내는 함수, 적분으로 정의된 함수의 해석이 나옵니다. 공식을 기억하는 데서 그치지 않고 주어진 조건에 맞는 표현으로 옮기는 연습이 필요합니다.

후반의 부담은 긴 전개만으로 설명되지 않습니다. 19번은 원래 함수와 실근 개수를 나타내는 함수를 구별해야 하고, 24번은 절댓값 그래프에서 누적 최댓값 함수를 새로 구성해야 합니다. 낯선 함수의 정의를 읽고 구간별 성질을 정리하는 능력이 풀이의 출발점을 좌우합니다.

난이도 분포 — 후반의 그래프 해석과 구간 분리

자동 분류 기준 쉬움인 1·4·20번은 각각 부정적분, 움직인 거리, 대칭구간의 정적분을 다룹니다. 분류가 쉬움이어도 4번에서 변위와 거리를 혼동하거나 20번에서 홀수 차수 항과 짝수 차수 항을 구별하지 않으면 불필요한 계산이 생깁니다. 기본 개념을 정확히 적용해 시간을 확보할 구간입니다.

보통 문항은 초반과 중반에 넓게 분포하며 21번에도 배치되어 있습니다. 6·7번의 실근과 교점 개수, 9번의 적분함수 극한, 15번의 누적 적분 그래프처럼 개념 사이의 연결을 요구합니다. 보통이라는 분류를 단순 계산형과 같은 뜻으로 받아들이지 말고, 무엇을 그래프로 바꿀지 먼저 정하세요.

어려움은 13·16·17·18·19·22·23·24번입니다. 자동 분류 기준이며 응시자의 실제 체감 난도를 확정하는 자료는 아닙니다. 이 구간에서는 중근 여부, 정리의 적용 조건, 매개변수의 부호, 적분식의 구간 변화처럼 계산 앞뒤의 판단 단계가 중요합니다.

출제 단원 — 도함수의 활용과 정적분이 중심

도함수의활용은 2·5·6·7·8·13·16·18·19·23번입니다. 최대·최소와 증가·감소를 바탕으로 실근 개수와 그래프 조건을 판단하는 흐름이 반복됩니다. 특히 수평선의 높이를 바꾸는 문제와 그 높이를 다시 함숫값으로 정하는 문제를 구별해야 합니다. 도함수의 영점만 구하고 끝내지 말고 극값이 교점 개수에 미치는 영향을 설명해 보세요.

정적분은 계산 자체보다 적분으로 정의된 함수와 절댓값 처리가 눈에 띕니다. 17번은 적분함수의 근 조건을 다항식의 인수 구조로 옮기고, 22번은 적분 변수와 매개변수를 구별해 경우를 나눕니다. 24번에서는 원래 함수의 부호뿐 아니라 최댓값을 만드는 위치의 변화까지 확인해야 합니다.

정적분의활용은 4·10·11·12·15번으로, 넓이와 거리의 부호 처리를 점검하기 좋습니다. 부정적분의 1·3번은 적분 공식을 확인하고 미분과 적분의 관계를 활용하는 바탕입니다. 단원별로 따로 외우기보다 부호표, 증감표, 누적량의 그래프를 함께 정리하는 방식이 이 시험 대비에 적합합니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확정된 순위가 아니라 정의 해석과 경우 분류의 부담을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 주어진 함수에서 새 함수를 만드는 과정이 있다는 것입니다. 새 함수의 입력, 출력, 구간별 변화 기준을 문장으로 적어 본 뒤 계산을 시작하면 접근이 분명해집니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 계산과 접근이 보이는 문항을 먼저 확보하세요. 13번에서 판단이 길어지면 표시하고 14·15번을 확인하며, 16~19번을 모두 해결한 뒤에야 뒤쪽으로 넘어가겠다는 방식은 피하는 편이 좋습니다. 20번의 대칭성 활용과 21번의 구간별 적분은 후반에서도 먼저 확인할 가치가 있습니다.

서술·단답형은 20·22·23번에 떨어져 배치되어 있습니다. 22번에서는 적분 변수와 부호 변화에 따른 경우를, 23번에서는 계수 부호별 최대·최소 후보를 먼저 적어 두세요. 계산 도중 멈추더라도 어디까지 조건을 정리했는지 남겨 두면 다시 접근할 때 같은 검토를 반복하지 않을 수 있습니다.

마지막 확인은 경계 조건을 중심으로 하세요. 6·16·17번은 서로 다른 실근과 중근을 구별하고, 18번은 한쪽 극한과 실제 함숫값을 혼동하지 않아야 합니다. 4·11번의 거리는 속도의 절댓값을 적분하며, 21·22·24번은 구간을 나누는 기준이 원래 함수에서 새 함수로 넘어갈 때도 같은지 다시 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 부정적분 공식과 미분을 통한 검산을 익히세요. 적분상수와 초기 조건의 역할을 구별하며 기본 계산을 안정시키세요(1·3·9번 대비).
2. 증감표에서 끝점과 임계점의 값을 비교하는 연습을 하세요. 기본 최대·최소에서 시작해 매개변수 부호별 비교로 확장하세요(2·5·8·23번 대비).
3. 수평선을 움직이며 실근과 교점 개수를 세어 보세요. 극값의 높이, 접하는 경우, 서로 다른 실근이라는 조건을 함께 기록하세요(6·7·16·19번 대비).
4. 부호 있는 적분과 넓이·거리의 차이를 정리하세요. 도함수와 누적 적분 그래프를 원래 함수의 값 변화로 연결하세요(4·10·11·12·15번 대비).
5. 대칭성과 구간별 정의를 함께 연습하세요. 절댓값의 부호 변화점과 입력을 반전했을 때의 분기점을 먼저 적으세요(14·20·21·22번 대비).
6. 조건 해석형은 풀이 전에 새 함수의 의미와 정리의 적용 조건을 설명해 보세요. 적분함수의 중근, 평균값정리, 누적 최댓값을 각각 다룬 뒤 종합하세요(13·17·18·24번 대비).