덕수고등학교
2024년 2학년 2학기 기말고사

덕수고 고2 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

덕수고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이 회차의 출제 범위는 미분계수와 도함수, 도함수의 활용, 부정적분, 정적분과 그 활용입니다. 극대·극소와 교점 해석부터 속도·가속도, 이동거리와 넓이까지 미분과 적분의 주요 개념이 함께 등장합니다.

초반에는 미분 공식과 그래프의 기본 성질을 확인하고, 중반에는 정적분을 포함한 등식을 변형하거나 극값으로 교점 조건을 정리하게 합니다. 식을 그대로 계산하기보다 무엇을 상수로 볼지, 어느 구간에서 부호가 바뀌는지를 먼저 판단하는 편이 풀이를 줄입니다.

후반 객관식은 절댓값 그래프, 근의 중복도, 조각별 함수의 미분가능성, 원시함수의 곱으로 사고 대상을 바꿉니다. 반면 서술·단답형은 기본 미분과 극값 조건, 부정적분의 정의를 묻습니다. 객관식 마지막 구간에 시간을 모두 쓰지 않고 서술형의 풀이 근거를 적을 시간을 확보해야 합니다.

난이도 분포 — 객관식 15~18번에 모인 어려움

자동 분류 기준 쉬움에 속한 1·6·19번은 각각 곱의 미분, 위치 변화량, 가속도를 확인합니다. 풀이가 짧아도 극값에서의 도함수 조건과 속도·위치의 관계를 정확히 구분해야 합니다. 특히 19번은 시험 뒤쪽에 있는 기본 문항이므로 먼저 해결할 후보입니다.

보통 문항은 단순 계산만으로 묶기 어렵습니다. 11번은 적분식의 변수를 구분한 뒤 미분하고, 13번은 함수의 대칭성과 도함수의 부호를 연결합니다. 20·21번은 결론까지 가는 이유를 서술해야 하므로, 계산이 되더라도 식을 세운 근거를 생략하지 않는 연습이 필요합니다.

어려움으로 분류된 15~18번은 해석 단계를 거쳐야 계산을 시작할 수 있습니다. 이 구간에서는 그래프를 그리거나 조건을 식으로 옮기는 단계에서 진전이 있는지 점검하세요. 자동 분류 결과는 준비 순서를 정하는 참고 자료이며 실제 체감 난도를 확정하는 지표는 아닙니다.

출제 단원 — 도함수의 활용이 중심, 적분과의 연결도 중요

도함수의활용은 극값 판정, 모든 범위에서 성립하는 부등식, 수평선과 그래프의 교점으로 이어집니다. 2번에서 도함수의 부호 변화를 익힌 뒤 8·12번의 극값과 교점 관계로 확장하고, 15번에서 절댓값 그래프까지 다루는 순서가 적절합니다.

정적분과 정적분의활용은 누적량의 의미와 식의 구조를 함께 확인합니다. 6번의 위치 변화량과 14번의 이동거리는 같은 속도 적분이라도 부호 처리 방식이 다릅니다. 5번의 고정 구간 적분과 11·18번의 변하는 끝점도 구분해서 공부해야 합니다.

문항 수가 적은 단원도 건너뛰기 어렵습니다. 미분계수와도함수의 16번은 절댓값 함수의 미분가능성을 근의 중복도와 연결합니다. 부정적분의 21번은 정의를 미분 관계식으로 바꾸는 서술형이므로, 단원 이름보다 문항에서 연결되는 개념을 확인하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움 감소와 도함수 활용 비중 확대

작년과 올해는 모두 수학II입니다. 자동 분류 기준으로 어려움은 9문항에서 4문항으로 줄고 보통은 8문항에서 14문항으로 늘었습니다. 쉬움과 서술·단답형 수는 같습니다. 다만 이 변화만으로 실제 응시자의 성적이나 체감 난도가 얼마나 달라졌는지는 판단할 수 없습니다.

작년에는 정적분과 도함수의활용이 각 6문항으로 공동 최다였고, 올해는 도함수의활용이 8문항으로 가장 많습니다. 정적분은 6문항에서 4문항으로 줄었으며 정적분의활용은 5문항으로 같습니다. 따라서 극값과 그래프 해석을 먼저 다지되 적분의 의미와 활용을 함께 유지하는 준비가 적절합니다.

작년 어려움은 9번과 13~20번에 놓였고 서술·단답형 18~20번도 포함됐습니다. 올해는 객관식 15~18번에 집중돼 있습니다. 다음 시험 준비에서는 서술형을 일률적으로 어려운 구간이라 가정하기보다, 전체를 훑고 해결할 수 있는 문항부터 확보하는 연습을 하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 주어진 조건을 그래프나 미분 관계로 바꾸는 단계가 중요합니다. 계산에 들어가기 전에 무엇을 세는지, 어느 점에서 조건을 검사하는지를 한 문장으로 정리해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 초중반의 해결 가능한 문항과 서술·단답형을 먼저 확보하세요. 15~18번에서 출발 아이디어가 잡히지 않으면 표시하고 19~21번을 확인하는 편이 좋습니다. 전체 시험 시간이 제시되지 않았으므로 고정된 분 단위 계획보다는 풀이와 답안 작성, 재검토 시간을 나누어 연습하세요.

그래프 문항은 경계를 포함하는지 확인하는 데 재검토 시간을 쓰세요. 2번은 도함수가 영인 점과 극점을 구분하고, 8·12·15번은 수평선이 극값 높이와 일치하는 상황을 따로 봐야 합니다. 16·17번은 연속 조건을 확인한 뒤 미분가능 조건까지 이어가야 합니다.

적분 문항에서는 먼저 위치 변화량인지 이동거리인지, 부호 있는 적분인지 넓이인지 표시하세요. 6·14번과 9·17번을 짝지어 점검하면 효과적입니다. 서술형 20·21번은 계산을 마친 뒤 조건을 식으로 옮긴 이유와 극값 판정 또는 차수 판단이 답안에 드러나는지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 미분과 운동의 기본 관계부터 정리하세요. 곱의 미분법, 위치·속도·가속도의 연결을 짧은 계산으로 점검합니다(1·19번 대비).
2. 도함수의 부호표로 극값을 판정하고 극값 조건을 계수 결정에 연결하세요. 도함수가 영인 것만으로 결론 내리지 않는 연습이 필요합니다(2·3·20번 대비).
3. 극값과 수평선의 위치로 부등식과 교점 개수를 해석하세요. 기본 그래프에서 절댓값으로 접은 그래프까지 확장합니다(7·8·12·15번 대비).
4. 적분의 의미와 부호를 비교하세요. 주기 적분, 위치 변화량, 이동거리, 넓이를 구분한 뒤 구간을 나누는 기준을 적습니다(4·6·9·14번 대비).
5. 적분 등식은 고정 구간과 변수 끝점을 나누어 연습하세요. 상수로 치환할 부분과 미분할 부분을 구분하고 원시함수 관계를 확인합니다(5·10·11·18·21번 대비).
6. 절댓값과 조각별 함수는 부호·근·경계를 먼저 정리하세요. 미분가능 조건을 확인한 뒤 절댓값 적분과 넓이로 연결합니다(13·16·17번 대비).