영동일고등학교
2025년 2학년 2학기 기말고사

영동일고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

영동일고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이 회차의 출제 단원은 도함수의 활용, 부정적분, 정적분, 정적분의 활용입니다. 극값과 최대·최소부터 운동, 그래프 사이의 넓이까지 미분과 적분의 의미를 함께 확인합니다.

초반에는 미분과 적분의 기본 절차를 확인하지만, 중반 이후에는 주어진 조건에서 함수의 형태를 복원해야 합니다. 도함수 그래프가 주어졌다고 원함수의 높이까지 결정되는 것은 아니므로, 변화 방향을 정하는 정보와 함숫값을 정하는 정보를 나눠 읽는 것이 중요합니다.

서술·단답형은 20번의 정적분 계산, 21번의 넓이, 22번의 운동 조건으로 이어집니다. 이 구간의 난이도도 자동 분류 기준으로 서로 다릅니다. 번호가 뒤에 있다는 이유로 기본 계산 문항까지 미뤄 두지 않도록 시험지 전체를 먼저 살펴보세요.

난이도 분포 — 어려움 48%, 중후반의 조건 해석

1~6번은 모두 쉬움으로 분류됐습니다. 극솟값, 원함수 복원, 속도 그래프의 적분, 대칭구간 적분처럼 기본 개념을 정확히 적용하면 되는 구간입니다. 여기서 부호와 적분상수 실수를 줄여 후반을 검토할 여유를 확보하세요.

7~9번과 11·13번에서는 실근 개수, 부등식의 항상 성립, 역함수 존재, 이동거리처럼 익숙한 개념을 조건으로 바꾸는 과정이 필요합니다. 10·12번의 어려움 문항이 사이에 있으므로 앞에서부터 난도가 일정하게 높아지는 구성으로 생각하면 곤란합니다.

14~19번은 모두 어려움으로 분류됐습니다. 미분과 적분의 관계에 그래프 조건을 더하는 구간입니다. 이후 20·21번을 거쳐 22~25번에서 다시 어려움 문항이 이어지므로, 막힌 문제를 표시하고 기본 절차가 보이는 문제부터 마무리하는 운영이 필요합니다.

출제 단원 — 도함수의 활용에 집중된 구성

도함수의 활용은 15문항으로 가장 많습니다. 극값 계산에서 출발해 역함수 존재 조건, 도함수 그래프 비교, 사차함수의 형태, 도형의 부피 최적화로 확장됩니다. 같은 미분 계산을 하더라도 무엇의 증가·감소를 조사하는지 먼저 정해야 합니다.

정적분의 활용에서는 위치와 이동거리의 차이, 원함수와 역함수 사이의 넓이, 곡선과 축 사이의 넓이를 확인합니다. 정적분과 부정적분도 기본 계산만 나오지는 않습니다. 18번은 부호를 추론하고, 25번은 구간별 도함수를 정한 뒤 적분상수를 연결해야 하므로 단원별 문항 수만 보고 학습 비중을 정하지 마세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 도함수의 활용과 어려움 비중 확대

작년과 올해 모두 수학II입니다. 자동 분류 기준 어려움은 작년 7문항에서 올해 12문항으로 늘었습니다. 서술·단답형 수는 같지만 작년에는 해당 번호가 모두 보통이었고, 올해는 22번이 어려움에 포함됩니다. 형식별 문항 수만으로 부담이 같다고 볼 수 없습니다.

작년의 최다 단원은 부정적분이었고 올해는 도함수의 활용입니다. 정적분의 활용은 작년 6문항에서 올해 4문항으로 줄었으며, 정적분은 양쪽 모두 3문항입니다. 적분 계산을 익힌 뒤 도함수의 부호로 그래프 조건을 해석하는 연습에 충분한 시간을 배정하세요.

작년 어려움은 14번에서 시작했으나 올해는 10번에서 시작합니다. 올해의 14~19번 연속 구간에도 대비해야 합니다. 작년 문제를 복습할 때는 단순히 같은 번호를 연결하기보다 극값, 실근 개수, 부호 추론처럼 필요한 사고 과정을 기준으로 묶어 보세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 조건을 계산식으로 바꾸기 전에 그래프의 구조를 정해야 한다는 공통점이 있습니다. 자동 분류의 어려움 문항 중 분석상 고난도 문항으로 선정한 것이며, 이용자 투표로 난도 순위가 확정된 것은 아닙니다. 풀이를 복습할 때는 계산 줄 수보다 각 조건을 사용한 지점을 표시하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~6번의 기본 계산을 안정적으로 처리하고, 중반에서는 풀이 방향이 보이는 문제부터 진행하세요. 14~19번에서 연속으로 막히더라도 20번의 정적분과 21번의 넓이 문제를 확인할 시간을 남겨 두세요. 실제 제한 시간은 자료에 없으므로 고정된 분 단위 목표보다 구간별 진행 여부를 기준으로 연습하는 것이 좋습니다.

그래프 문제는 도함수의 영점 옆에 부호 변화를 적고, 적분 문제는 구간 옆에 원함수의 부호를 적는 방식으로 검산하세요. 10번의 도함수 교점과 원함수 교점, 13번의 변위와 이동거리, 22번의 위치 차와 거리는 각각 구별해야 합니다. 서로 다른 양을 같은 것으로 읽으면 계산이 맞아도 풀이 방향이 달라집니다.

마지막 검토에서는 11번의 단조성 경계, 16번의 정수 계수, 22번의 시간 범위, 25번의 경계 연속성을 우선 확인하세요. 서술·단답형에는 계산 결과뿐 아니라 구간을 나눈 이유와 후보를 제외한 조건도 정리해 두세요. 23번은 부피를 최대화한 후 실제 요구량으로 돌아왔는지도 점검해야 합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 미분·적분 기본 절차를 먼저 안정화하세요. 극값 후보와 구간 끝점 비교, 적분상수 결정, 정적분의 대입 순서를 점검합니다(1·2·4·5·6·20번 대비).
2. 도함수의 부호표를 그래프와 연결하세요. 실근 개수, 항상 성립하는 부등식, 역함수 존재 조건을 같은 부호 분석에서 출발해 구분합니다(7·8·10·11·19번 대비).
3. 함수 복원에 쓰는 조건을 분류하세요. 극한, 극값, 대칭성, 정수 계수를 각각 어떤 식으로 옮기는지 정리합니다(9·12·16번 대비).
4. 운동과 넓이에서는 부호를 확인한 뒤 적분하세요. 위치·거리와 부호 있는 적분·도형의 넓이를 짝지어 비교합니다(3·13·15·21·22번 대비).
5. 미분과 적분이 함께 나오는 식을 연습하세요. 곱의 미분과 적분으로 정의된 함수의 미분을 적용하고 남는 항을 확인합니다(14·17·18번 대비).
6. 마지막으로 모델링과 경계 조건을 연습하세요. 도형의 정의역, 전역 부등식의 접점, 구간별 적분상수 연결을 설명한 뒤 전체를 다시 풀어 보세요(23·24·25번 대비).