영동일고등학교
2022년 2학년 2학기 중간고사

영동일고 고2 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

영동일고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이 회차의 출제 단원은 함수의극한, 함수의연속, 미분계수와도함수, 도함수의활용입니다. 극한 계산부터 연속성과 미분가능성 판정, 접선의 기하적 활용까지 연결해서 준비해야 합니다.

이 시험은 공식을 적용하는 능력과 조건을 해석하는 능력을 함께 확인합니다. 초반에는 치환, 유리화, 인수분해가 유효하지만, 중반 이후에는 식을 세우기 전에 그래프가 바뀌는 위치나 접근 방향을 결정해야 합니다. 계산이 익숙해도 이 구분이 빠지면 풀이가 길어질 수 있습니다.

서술·단답형이 모두 같은 성격은 아닙니다. 20번은 사잇값의 정리로 존재를 보이는 문항이고, 21번은 도형의 접선 길이를 극한식으로 옮기는 문항입니다. 22·23번은 접선과 연속 조건을 활용하므로, 뒤쪽이라는 이유만으로 한꺼번에 미루지 않는 편이 좋습니다.

난이도 분포 — 중후반에 이어지는 조건 해석

쉬움에 해당하는 1~4번과 20번은 기본 정의와 정리의 적용을 점검합니다. 다만 쉬움이라는 자동 분류가 조건 확인을 생략해도 된다는 뜻은 아닙니다. 음의 무한대에서의 근호 처리, 양수 조건, 롤의 정리의 구간 조건까지 확인해야 합니다.

보통 문항에서는 개념을 연결하는 단계가 늘어납니다. 9번은 평행이동한 함수의 불연속점을 찾은 뒤 곱함수의 연속을 판단하고, 13번은 극한식에서 부호 정보를 읽어 실근의 존재로 이어갑니다. 계산 결과 옆에 그 결과가 뜻하는 조건을 적는 방식이 도움이 됩니다.

어려움 구간인 14~19번은 접선의 관계, 주기적 그래프, 평균변화율의 범위, 구간별 미분가능성, 부등식 조건을 차례로 다룹니다. 서로 다른 해석을 연속해서 요구하므로 막힌 문항을 표시하고 풀 수 있는 뒤 문항을 먼저 확보하는 운영이 필요합니다.

출제 단원 — 연속이 최다, 미분의 정의도 함께 점검

함수의연속은 단순히 극한값과 함숫값을 맞추는 데서 끝나지 않습니다. 12번은 교점 개수를 함수로 보고 불연속을 찾으며, 15번은 대칭성과 주기성으로 확장한 그래프를 읽습니다. 연속의 정의를 식뿐 아니라 그래프와 개수의 변화에도 적용해야 합니다.

미분계수와도함수에서는 11·16·17·18·24번이 자동 분류 기준 어려움입니다. 넓이로 정의한 함수, 서로 다른 두 점의 평균변화율, 이동한 구간별 함수의 곱 등에서 미분의 의미를 다시 꺼내 써야 합니다. 도함수를 계산하는 연습만으로는 이 부분을 충분히 대비하기 어렵습니다.

함수의극한은 근호 계산과 다항식 조건, 도형의 길이까지 확장됩니다. 도함수의활용에서는 접점이 주어진 경우와 곡선 밖의 점에서 접선을 긋는 경우를 구별하는 것이 중요합니다. 단원 이름별로 따로 외우기보다 극한·연속·미분의 조건이 이어지는 순서를 정리하세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

선정한 문항은 모두 후보를 찾은 뒤 조건으로 다시 검증해야 한다는 공통점이 있습니다. 이는 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 내용 분석에 따른 고난도 문항 선정입니다. 풀이 마지막에 도달 가능성, 적용 구간, 근방의 부호를 점검하는 습관을 들이세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 점검에서는 1~10번의 계산과 기본 조건을 처리하고, 풀이 방향이 잡히지 않는 문항은 표시하세요. 11번 이후에는 그래프를 다시 구성하거나 경우를 나누는 시간이 필요합니다. 같은 식을 반복해서 전개하고 있다면 멈추고 경계점과 구간을 먼저 적어 보는 편이 좋습니다.

14~19번을 모두 해결한 뒤 서술·단답형을 시작하려고 하면 답안 작성 시간이 부족할 수 있습니다. 20번의 존재 증명과 22·23번의 설정을 먼저 확인해 풀 수 있는 문항을 확보하세요. 마지막 24번도 자료상 객관식이므로 서술·단답형 구간 뒤에 별도의 문항이 남아 있음을 기억해야 합니다.

검산은 계산보다 조건을 중심으로 하세요. 2번은 근호의 부호, 9번은 이동한 불연속점, 15번은 접근 방향, 16번은 서로 다른 두 점, 17·18번은 모든 경계점이 핵심입니다. 서술 답안에서는 연속을 확인했다는 이유만으로 미분가능성을 결론 내리지 말고 좌우미분계수의 일치를 별도로 적으세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 극한의 기본 변형부터 점검하세요. 치환·인수분해·유리화를 고르는 이유와 음의 무한대에서 절댓값을 처리하는 이유를 설명하며 풉니다(1·2·3·5·6번 대비).
2. 연속 조건을 표로 정리하세요. 경계점마다 좌극한·우극한·함숫값을 적고 평행이동이나 곱이 각 값에 주는 영향을 확인합니다(9·13·23번 대비).
3. 그래프의 변화를 언어로 설명하세요. 접하는 순간의 교점 개수와 대칭·주기로 확장한 그래프의 경계점 표시를 연습합니다(12·15번 대비).
4. 미분가능성은 연속과 기울기 조건으로 나누어 연습하세요. 원래 경계와 이동한 경계를 모두 표시한 뒤 구간별 식을 결정합니다(11·17·18번 대비).
5. 접선의 설정을 구별하세요. 접점이 알려진 경우와 외부점을 통과하는 경우를 나누고, 기울기와 거리·넓이의 관계까지 연결합니다(8·10·14·22번 대비).
6. 범위와 다항식 조건은 후보 검증까지 완성하세요. 경계의 포함 여부, 부등호 방향, 차수 제한의 근거를 풀이 끝에 점검합니다(7·16·19·24번 대비).
7. 서술 과정은 정리의 가정부터 작성하세요. 실근 존재 증명에서는 연속과 부호 차이를, 도형 극한에서는 접선 길이 관계를 먼저 쓰고 계산을 이어갑니다(20·21번 대비).