배명고등학교
2023년 2학년 2학기 기말고사

배명고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

배명고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 단원은 도함수의활용, 정적분, 정적분의활용, 미분계수와도함수, 함수의극한입니다. 함수의 변화와 그래프를 읽는 미분 영역, 넓이와 누적량을 해석하는 적분 영역이 함께 다뤄집니다.

기본 계산에서도 대상의 의미를 구별해야 합니다. 속도가 사라지는 순간과 운동 방향이 바뀌는 순간, 정적분과 도형의 넓이, 도함수가 사라지는 점과 극값을 갖는 점은 각각 다릅니다. 식을 계산하기 전에 무엇을 판단하는 문제인지 적어 두면 부호나 조건을 놓치는 일을 줄일 수 있습니다.

후반 서술·단답형에서는 그래프 개형, 도형의 최대 넓이, 적분식으로 주어진 함수, 극한을 이용한 다항식 결정까지 풀이 방식이 달라집니다. 앞부분에서 계산 시간을 아끼되, 마지막에는 조건을 식으로 바꾼 근거와 후보를 검토하는 시간을 남기는 준비가 필요합니다.

난이도 분포 — 보통 문항 중심에 놓인 조건 해석

쉬움 문항은 앞부분에만 있지 않습니다. 1번의 운동 방향, 4번의 적분으로 정의된 함수의 극한, 8번의 넓이와 정적분 관계에 이어 서술·단답형 17번도 쉬움으로 분류됩니다. 서술형이라는 이유만으로 뒤로 미루지 말고, 기본 개념으로 시작할 수 있는 문항인지 먼저 살펴보세요.

보통 문항에서는 계산 전 판단의 정확도가 중요합니다. 3번은 도함수의 부호 변화, 5·11번은 절댓값과 넓이의 구간 분리, 16번은 접점에 관한 방정식의 실근 개수를 확인해야 합니다. 보통이라는 분류를 단순 대입형이라는 뜻으로 받아들이면 여러 판단을 반복하면서 시간이 길어질 수 있습니다.

어려움은 10·12번에서 먼저 등장하고 마지막 20·21번에 다시 배치됩니다. 10번은 대칭과 교점 개수, 12번은 매개변수에 따른 적분 구간, 20·21번은 여러 조건의 결합이 관건입니다. 난이도는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도나 문항별 순위를 확정하는 자료는 아닙니다.

출제 단원 — 도함수의 활용과 정적분의 연결

가장 많은 도함수의활용은 운동, 교점 개수, 부등식, 접선, 그래프 개형, 도형의 최대 넓이로 형태가 다양합니다. 특히 2·10·16번은 겉모습이 달라도 방정식의 서로 다른 실근 개수를 그래프로 판단한다는 공통점이 있습니다. 도함수로 극값을 구한 뒤 수평선과의 위치를 설명하는 연습을 묶어서 하세요.

정적분에서는 직접 계산뿐 아니라 적분으로 정의된 함수를 다룹니다. 4번은 미분계수의 정의와 연결되고, 12번은 절댓값 내부의 부호가 바뀌는 위치를 따지며, 19번은 적분식을 나누어 미분하는 구조입니다. 적분 변수와 바깥 변수를 구별하는 습관이 서로 다른 유형에 공통으로 적용됩니다.

정적분의활용은 6~9번과 11번에 모여 있습니다. 넓이를 구할 때는 위아래 함수의 순서, 운동을 해석할 때는 속도의 부호가 출발점입니다. 함수의극한은 출제 수가 적어도 20번이 자동 분류 기준 어려움이므로, 단원 비중만 보고 제외하기보다 유리화와 인수의 중복을 복습해 두세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 적분 비중과 어려움 문항의 변화

작년과 올해 모두 수학II이며 총 문항 수는 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 작년보다 늘었고, 서술·단답형은 작년 18번부터 올해 17번부터 시작합니다. 단순히 마지막 문항만 대비하기보다 풀이 과정을 직접 정리하는 연습을 넓게 해 두는 편이 좋습니다.

도함수의활용이 가장 많다는 점은 같지만, 정적분은 작년 3문항에서 올해 6문항으로, 정적분의활용은 3문항에서 5문항으로 늘었습니다. 함수의극한은 작년 3문항에서 올해 1문항으로 줄었으나 올해 해당 문항이 어려움으로 분류됩니다. 출제 수와 개별 문항의 풀이 부담을 함께 보고 학습 시간을 나누세요.

작년 어려움 문항은 17·20번이었고 올해는 10·12·20·21번입니다. 올해는 객관식 중반에도 조건 해석의 부담이 나타나고 마지막 서술·단답형에서도 이어집니다. 다음 시험 대비에서는 미분의 그래프 해석을 유지하면서 적분의 구간 분리와 극한 조건을 이용한 함수 결정까지 연결해 연습하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

위 문항은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 주어진 조건을 바로 계산하지 않고 구간, 인수, 독립된 관계식으로 바꾸어야 한다는 것입니다. 연습할 때 첫 줄에 선택한 변환과 그 이유를 적으면 어디서 접근이 막히는지 점검하기 좋습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 부호표나 간단한 그래프로 출발할 수 있는 문제를 먼저 확보하세요. 10·12번에서 조건 정리가 길어지면 표시하고 다음 문항으로 넘어가세요. 17번은 자동 분류 기준 쉬움이므로 객관식을 전부 마칠 때까지 서술·단답형을 보지 않는 방식은 피하는 편이 좋습니다.

넓이와 적분 문제는 계산 전에 경계와 부호를 적어 두세요. 5·6·11번은 절댓값과 그래프의 위아래 관계, 7·8번은 부호 있는 누적량과 양의 넓이의 구별이 중요합니다. 12·19번에서는 적분 변수를 표시해 두면 바깥 변수를 함께 적분하거나 미분 항을 누락하는 실수를 줄일 수 있습니다.

마지막 검토는 조건 충족 여부를 중심으로 하세요. 2·10·16번은 서로 다른 근과 접점의 개수, 17번은 극값 표시, 18번은 도형이 성립하는 변수 범위를 확인해야 합니다. 20·21번은 구한 함수가 처음의 극한과 적분 조건을 모두 만족하는지 되돌아보는 시간을 남기세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 도함수의 부호표로 운동 방향과 증가·감소를 설명하세요. 도함수가 사라지는 점과 실제 극값을 구분하는 말하기 연습부터 시작하세요(1·3·17번 대비).
2. 교점과 접선 개수를 그래프로 판단하세요. 보조함수를 만들고 극값의 경계에서 서로 다른 근 개수가 어떻게 변하는지 확인하세요(2·10·16번 대비).
3. 넓이와 정적분, 변위와 이동 거리를 나란히 비교하세요. 같은 그림에서 부호를 유지하는 계산과 절댓값으로 더하는 계산을 구별하세요(5·6·7·8·9·11번 대비).
4. 적분으로 정의된 함수는 변수의 역할부터 표시하세요. 기본 미분 연결에서 시작해 절댓값의 구간 분리와 적분식의 변형으로 확장하세요(4·12·14·19번 대비).
5. 극한을 함숫값·미분계수·인수 조건으로 바꾸세요. 유리화 뒤 분모의 인수 구조를 살피고 항등식의 차수 비교도 함께 복습하세요(13·15·20번 대비).
6. 도형의 최대 넓이와 여러 조건을 이용한 함수 결정을 서술하세요. 변수 범위, 조건 변환, 마지막 검증을 빠짐없이 쓰는 연습으로 마무리하세요(18·21번 대비).