영동일고등학교 2025년 2학년 2학기 중간고사 수학II 수학 기출문제 및 해설

영동일고등학교 2025년 2학년 2학기 중간고사 수학II 시험 분석

📝 문항 목록

영동일고등학교 2025년 2학년 2학기 중간고사 수학II 수학 기출 25문항의 문제입니다. 해설은 다운로드로 제공됩니다.

1. 1

   lim(x → ∞)(3/(x + 1) - 5)의 값은? ① -8 ② -7 ③ -6 ④ -5 ⑤ -4

2. 2

   함수 y = f(x)의 그래프가 그림과 같다. lim(x → -1 +)f(x) - lim(x → 1 -)f(x)의 값은? ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5

3. 3

   다음 중 x = 0에서 연속이지만 미분가능하지 않은 함수는? ① f(x) = -3 ② f(x) = |x|/x ③ f(x) = √(x²) ④ f(x) = x|x| ⑤ f(x) = x² - x - 2

4. 4

   등식 lim(x → 1)(x² - ax + b)/(x - 1) = 7이 성립하게 하는 상수 a, b에 대하여 a - b의 값은? ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5

5. 5

   곡선 y = x² - x 위의 점 (-1, 2)에서의 접선이 점 (-10, a)를 지날 때, 상수 a의 값은? ① 25 ② 26 ③ 27 ④ 28 ⑤ 29

6. 6

   lim(x → -4)(x² + 9x + 20)/(√(x + 8) - 2) 의 값은? ① 2 ② 3 ③ 4 ④ 5 ⑤ 6

7. 7

   다항함수 f(x)에 대하여 함수 g(x)를 g(x) = (x² - x)f(x)라 하자. g′(0) + g′(1) = 15일 때, f(1) - f(0)의 값은? ① 11 ② 12 ③ 13 ④ 14 ⑤ 15

8. 8

   이차함수 f(x) = (x + k)²과 다항함수 g(x)에 대하여 x좌표가 1인 점에서의 곡선 y = f(x)g(x)의 접선의 기울기가 -12이라고 한다. g(1) = 1, g′(1) = -2일 때, 양수 k의 값은? ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5

9. 9

   연속함수 f(x)에 대하여 f(2) < 0 < f(3),f(6) < 0 < f(7)이 성립할 때, 방정식 f(x) = 0은 열린구간 (2, 7)에서 적어도 몇 개의 실근을 갖는가? ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5

10. 10

    최고차항의 계수가 1인 이차함수 f(x)와 함수 g(x) = {-2, (x ≤ 0) ; -2x + 1, (0 < x < 3) ; 2, (x ≥ 3)에 대하여 함수 f(x)g(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이다. f(7)의 값은? ① 24 ② 25 ③ 26 ④ 27 ⑤ 28

11. 11

    두 함수 f(x), g(x)가 lim(x → ∞)f(x) = ∞, lim(x → ∞){5f(x) - 3g(x)} = 1을 만족시킬 때, lim(x → ∞)(f(x) + 3g(x))/(8f(x) - 6g(x))의 값은? ① -3 ② -2 ③ -1 ④ 0 ⑤ 1

12. 12

    두 다항함수 f(x), g(x)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) g(x) = x³f(x) - 26 (나) lim(x → 3)(f(x) - g(x))/(x - 3) = 25곡선 y = g(x) 위의 점 (3, g(3))에서의 접선의 방정식은 y = ax + b이다. a + b의 값은? (단, a, b는 상수) ① 5 ② 15 ③ 35 ④ 55 ⑤ 65

13. 13

    곡선 y = x²과 기울기가 1인 직선 l이 서로 다른 두 점 A, B에서 만난다. 양의 실수 t에 대하여 선분 AB의 길이가 3t가 되도록 하는 직선 l의 y절편을 g(t)라 할 때, lim(t → ∞)g(t)/(t²)의 값은?(단, 점 B의 x좌표는 점 A의 x좌표보다 크다.) ① 1/8 ② 3/8 ③ 5/8 ④ 7/8 ⑤ 9/8

14. 14

    삼차함수 f(x)와 이차함수 g(x)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 두 함수 f(x), g(x)는 모두 최고차항의 계수가 정수이다. (나) 모든 실수 x에 대하여 lim(h → 0)(f(x) - f(x - h/2))/h × lim(h → 0)(g(x + h/3) - g(x))/h = -x³ - 4x - 5 이다.함수 f′(x)가 최솟값 m을 가질 때, g′(m)의 값은? ① -61/2 ② -61/4 ③ -23/2 ④ -23/4 ⑤ -23/6

15. 15

    곡선 y = |x² - 2x|의 그래프와 직선 y = k (k는 실수)의 교점의 개수를 함수 f(k)로 정의한다. 최고차항의 계수가 2인 이차함수 g(k)에 대하여 함수 f(k)g(k)가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, f(1/2) + g(3/2)의 값은? ① 3/2 ② 5/2 ③ 7/2 ④ 9/2 ⑤ 11/2

16. 16

    함수 f(x) = {x + a, (x < c) ; x + a, (x > c + 3) ; x² - 4x + b, (c ≤ x ≤ c + 3)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 f(x)는 실수 전체의 집합에서 연속이다. (나) x > 0에서 함수 f(x)의 최솟값은 6이다.함수 y = f(x)의 그래프와 직선 y = t (t는 실수)가 만나는 점의 개수를 g(t)라 할 때, lim(t → k -)g(t) + lim(t → k +)g(t) = 4를 만족시키는 모든 실수 k의 값의 합은? (단, a, b, c는 상수이다.) ① 13 ② 14 ③ 15 ④ 16 ⑤ 17

17. 17

    최고차항의 계수가 1이고 상수함수가 아닌 두 다항함수 f(x), g(x)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) {lim(x → ∞)f(x)g(x)/(x⁷)}² + {lim(x → ∞)x³/(f(x))}² + {lim(x → ∞)g(x)/(x³)}² = 0 (나) lim(x → 1)f(x)g(x)/((x - 1)³) = 0임의의 실수 t에 대하여 f(t) = f(-t)일 때, f(2) + g(3)의 값은? ① 11 ② 12 ③ 13 ④ 14 ⑤ 15

18. 18

    함수 f(x) = x² 위의 점 P(a, f(a)) (a > 0)에서의 접선이 x축과 만나는 점을 Q라 하고, 점 P를 지나며 이 접선에 수직인 직선이 x축과 만나는 점을 R라 하자. 삼각형 PQR의 외접원의 넓이가 25/16 π일 때, 실수 a의 값은? ① 1/2 ② 1 ③ 3/2 ④ 2 ⑤ 5/2

19. 19

    양수 a에 대하여 점 (a, 0)에서 곡선 y = 2x³에 그은 접선과 점 (0, a)에서 곡선 y = 2x³에 그은 접선이 서로 평행할 때, a²의 값은? ① 1/27 ② 2/27 ③ 1/9 ④ 4/27 ⑤ 5/27

20. 20

    함수 f(x) = 5x² + 2에 대하여 f′(1)의 값을 구하시오.

21. 21

    함수 f(x) = {2x - b, (x < 1) ; ax² - x, (x ≥ 1)가 x = 1에서 미분가능할 때, f(2)의 값을 구하시오. (단, a, b는 상수)

22. 22

    다항식 x¹⁰ - ax³ + b를 (x - 1)²으로 나누었을 때의 나머지가 4x + 1일 때, ab의 값을 구하시오. (단, a, b는 상수)

23. 23

    최고차항의 계수가 a인 이차함수 f(x)가 모든 실수 x에 대하여 |f′(x)| ≤ x² + 12를 만족시킨다. 함수 y = f(x)의 그래프의 대칭축이 직선 x = 2일 때, 실수 a의 값의 범위를 구하시오.

24. 24

    함수 f(x) = {-x² - 6x, (x ≤ 0) ; x² - 4x, (x > 0)에 대하여 (f(a) - f(-3))/(a + 3) = f′(c)를 만족시키고 열린구간 (-3, a)에 속하는 상수 c의 개수가 2가 되도록 하는 모든 실수 a의 값의 범위를 구하시오. (단, a > -3)

25. 25

    함수 f(x) = {-x² - x + 2, (|x| ≤ 2) ; x² - 4, (|x| > 2)가 있다.　최고차항의 계수가 1인 삼차함수 g(x)에 대하여 함수 f(x)g(x)가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, g(-1)의 값을 구하시오.