영동일고등학교
2025년 2학년 2학기 중간고사

영동일고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

영동일고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 자료에서 확인되는 범위는 함수의 극한과 연속, 미분계수와 도함수, 도함수의 활용입니다. 극한의 기본 성질부터 접선과 평균변화율, 구간별 함수의 미분가능성까지 이어집니다.

초반에는 그래프의 한쪽 극한을 읽거나 무리식을 유리화하는 기본형이 있습니다. 중반부터는 교점의 개수로 새 함수를 정의하거나 다항식의 차수와 인수 조건을 함께 해석해야 합니다. 공식을 알고 있어도 조건을 적용할 지점을 찾지 못하면 풀이가 길어질 수 있습니다.

후반에는 다항식의 나눗셈, 절댓값 부등식, 미분 불가능한 경계가 미분에 결합됩니다. 서술·단답형도 수준이 다양하므로 번호순으로 난도가 높아진다고 생각하지 마세요. 계산 전에 필요한 조건을 적어 보세요.

난이도 분포 — 중반부터 넓게 이어지는 조건 해석

쉬움 문항은 1·2·3·5·6·20번입니다. 극한의 성질, 연속과 미분가능의 차이, 접선의 기울기, 다항함수의 미분 공식을 확인합니다. 특히 20번도 쉬움으로 분류되므로 앞의 복합 문항에 머무르느라 기본형을 보지 못하는 상황을 피해야 합니다.

보통 문항에는 4·7·8·9·11번과 19·21번이 있습니다. 곱의 미분법에서 항이 사라지는 지점을 찾고, 사잇값 정리로 보장되는 실근과 실제 실근 개수를 구별하는 식의 개념 적용이 필요합니다. 뒤쪽의 19·21번도 접근 가능한지 따로 살펴보세요.

자동 분류 기준 어려움의 비중은 48%입니다. 12~18번에서는 극한, 미분, 그래프를 번갈아 해석해야 하고 22~25번에서도 조건 검토가 이어집니다. 실제 체감을 단정할 수는 없지만, 기본형에서 아낀 시간을 복합 조건 정리에 쓰는 운영이 적절합니다.

출제 단원 — 미분계수와 도함수가 중심

미분계수와도함수는 12문항으로 전체의 48%입니다. 단순 미분 계산 외에도 접선의 기하적 의미, 극한식의 미분계수 해석, 미분한 항등식, 구간별 함수의 연결 조건까지 묻습니다. 공식 암기 이후에는 같은 미분계수가 서로 다른 형태의 식으로 제시되는 경우를 연습해야 합니다.

함수의극한은 7문항입니다. 초반의 기본 계산과 달리 13번은 현의 길이와 교점 좌표를 연결하고, 17번은 무한대에서의 극한을 차수 제한으로 바꿉니다. 함수의연속은 4문항이며, 10·15·16번에서는 단순 대입을 넘어 불연속 지점이나 교점 개수의 변화 지점을 찾아야 합니다.

도함수의활용은 23·24번이며 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 문항 수만 보고 비중을 낮추기보다, 전 범위 부등식과 평균변화율을 도함수의 그래프로 해석하는 연습을 해 두세요. 앞 단원의 미분가능성 판단이 활용 문제에서도 출발 조건이 됩니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 보통 구간이 줄고 어려움이 확대

작년과 올해는 모두 수학II입니다. 총 문항은 24문항에서 25문항으로 늘었고 서술·단답형은 5문항으로 같습니다. 자동 분류 기준 쉬움은 6문항으로 같지만, 보통은 13문항에서 7문항으로 줄고 어려움은 5문항에서 12문항으로 늘었습니다.

가장 많은 단원은 두 해 모두 미분계수와도함수이며 9문항에서 12문항으로 늘었습니다. 함수의극한은 6문항에서 7문항, 함수의연속은 4문항으로 같고 도함수의활용은 5문항에서 2문항으로 줄었습니다. 활용 문항 수의 감소를 미분 학습 부담의 감소로 해석하기는 어렵습니다.

작년의 어려움은 15·19·22·23·24번이었지만 올해는 10번부터 등장합니다. 올해의 12~18번처럼 중반에 이어지는 복합 문제에 대비하려면, 마지막 문제만 집중해서 풀기보다 미분계수의 여러 표현과 연속 조건을 섞은 연습을 충분히 해 두세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

자동 분류 기준 어려움 문항 가운데 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 후보를 원래 조건에 다시 대조해야 한다는 것입니다. 차수, 구간, 연속, 좌우미분계수 등 확인할 조건을 적어 두세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 극한과 미분 계산을 먼저 확보하세요. 10번 이후 조건 정리가 길어지면 표시해 두고 11·19·20·21번의 접근 가능성을 확인하는 운영을 권합니다. 24번은 객관식이므로 뒷부분을 모두 같은 답안 형식으로 생각하지 말고 문항별 요구 형식을 확인하세요.

그래프 문항에서는 식을 전개하기 전에 경계와 꼭짓점을 표시하세요. 15·16번은 수평선이 경계 높이를 지날 때의 교점 수를 따로 보아야 합니다. 18번은 직각삼각형의 외접원 관계를 먼저 발견하면 길이 계산의 목표가 분명해집니다. 해석과 계산 중 시간이 걸린 단계를 기록하세요.

마지막 검토에서는 조건 누락을 우선 확인하세요. 9번은 실근이 적어도 존재한다는 결론, 14번은 증분의 비율과 계수 조건, 21·25번은 연속 조건을 먼저 적용했는지가 핵심입니다. 23번의 전 범위 조건은 양쪽 기울기에 모두 적용하고, 24번에서는 미분 불가능한 경계를 후보에 포함하지 않았는지 보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 극한의 기본 성질과 한쪽 극한을 복습하세요. 그래프를 읽는 문제와 인수분해·유리화 계산을 번갈아 풀어 접근법을 구별하세요(1·2·4·6·11번 대비).
2. 연속과 미분가능의 정의를 연결하세요. 경계의 함숫값, 좌우극한, 좌우미분계수를 순서대로 확인하는 풀이를 작성하세요(3·10·21·25번 대비).
3. 곱의 미분법과 미분계수 형태의 극한을 묶어 연습하세요. 증분이 바뀌면 분모의 비율도 함께 바꾸는 과정을 적어 보세요(7·8·12·14번 대비).
4. 접선 문제는 접점을 변수로 놓는 기본형부터 정리하세요. 평행·수직 조건과 현의 길이 등 기하적 관계를 식과 그림으로 연결하세요(5·13·18·19번 대비).
5. 수평선과 그래프의 교점 수를 높이에 따라 표로 정리하세요. 경계 높이에서의 함수값과 그 양옆의 값을 구분하세요(9·15·16번 대비).
6. 다항식의 차수·인수·중근과 미분을 연결하세요. 나머지 조건의 항등식을 미분하고 극한 조건을 인수의 중복도로 읽는 연습을 하세요(17·22·25번 대비).
7. 전 범위 부등식과 평균변화율의 활용으로 마무리하세요. 계산으로 얻은 후보를 열린구간과 미분가능성 조건으로 다시 검토하세요(23·24번 대비).