압구정고등학교
2025년 2학년 2학기 기말고사

압구정고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

압구정고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 단원은 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용입니다. 도함수로 함수의 변화를 읽고 정적분으로 넓이와 위치 변화를 해석하는 범위입니다.

기본 계산과 조건 해석이 함께 등장합니다. 증가 구간을 읽는 문제, 적분 구간을 합치는 문제에서 출발해 최대·최소, 절댓값 그래프, 적분으로 주어진 관계식으로 이어집니다. 공식을 적용하기 전에 어떤 함수의 부호를 확인해야 하는지 판단해야 합니다.

서술·단답형은 17·18·19·21·22·23번이며 번호 전체가 한 덩어리로 이어지지는 않습니다. 운동 그래프의 기본 해석과 부정적분 계산부터 부피 최적화와 삼차함수의 계수 결정까지 포함합니다. 답안 형식만으로 풀이 부담을 예상하기보다 각 문항의 출발 조건을 먼저 살펴보세요.

난이도 분포 — 후반 고난도 사이의 기본형을 확보

쉬움 문항은 초반의 1·2·3·5번과 후반의 17·18·19·21번에 나뉘어 있습니다. 도함수 그래프의 부호, 두 곡선 사이의 넓이, 속도 그래프의 면적처럼 기본 개념을 정확히 적용하는 구간입니다. 후반에 있다는 이유로 미뤄 두지 않는 것이 좋습니다.

보통 문항은 계산보다 조건의 번역에서 차이가 납니다. 8번은 전체 실수 범위의 증가 조건을 도함수의 부호로, 11번은 도형의 넓이를 매개변수의 함수로 바꾸어야 합니다. 13·14번도 적분과 미분의 관계, 곱의 미분법을 조건과 연결해야 합니다.

어려움 문항에서는 서로 다른 해석을 이어야 합니다. 15번은 그래프 사이의 차와 넓이, 16번은 미분가능성과 구간별 적분, 23~25번은 극값·교점·적분 관계식을 다룹니다. 이 분포는 자동 분류 기준이므로 개별 학생의 체감 난도 순위를 의미하지는 않습니다.

출제 단원 — 도함수의 활용을 중심으로 적분 해석 연결

도함수의활용은 증가·감소, 최대·최소, 속도·가속도, 실근 개수를 폭넓게 다룹니다. 6·10·22번처럼 최적값을 판단하는 유형과 12·24번처럼 그래프의 교점을 세는 유형을 나누어 연습하세요. 도함수가 사라지는 지점을 구한 뒤 부호와 실제 정의역을 확인하는 과정이 공통입니다.

정적분의활용에서는 넓이뿐 아니라 운동 그래프가 중요한 비중을 차지합니다. 17~20번은 움직인 거리, 위치, 위치 변화량, 원점 통과를 구분해 읽어야 합니다. 같은 속도 그래프를 보더라도 요구량에 따라 절댓값과 초기 위치의 사용 여부가 달라집니다.

정적분은 구간의 방향과 분할을 다루는 기본형에서 적분 등식의 함수 관계를 복원하는 유형까지 이어집니다. 부정적분은 21번이지만 다른 적분 문항의 계산 바탕이 됩니다. 단원별 문제 수만 보고 계산 연습을 줄이기보다 부호 판단과 계산을 묶어 점검하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움 수는 같고 보통 문항 증가

작년과 올해 모두 수학II입니다. 자동 분류 기준 어려움 문항 수는 같고, 올해는 보통 문항이 늘었습니다. 서술·단답형은 줄었지만 전체 문항은 늘었으므로 형식 변화만으로 시험이 쉬워졌다고 판단하기는 어렵습니다.

도함수의활용은 작년과 올해 문항 수가 같지만 전체에서 차지하는 비중은 줄었습니다. 정적분의활용은 작년 3문항에서 올해 7문항으로 늘었고, 정적분은 5문항에서 6문항, 부정적분은 2문항에서 1문항으로 바뀌었습니다. 넓이와 운동 해석을 함께 준비할 필요가 있습니다.

작년 어려움은 11·12·18·19·21번, 올해는 15·16·23·24·25번입니다. 올해는 끝부분의 조건 결합 문항과 그 앞의 기본형을 구분하는 운영이 중요합니다. 대비할 때는 미분 활용의 기본기를 유지하면서 적분 활용을 시간 안에 정확히 처리하는 연습을 더하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 해설의 조건 연결 과정을 근거로 고른 분석상 고난도 문항이며 이용자 투표에 따른 순위는 아닙니다. 공통적으로 계산 전에 조건을 다른 표현으로 옮겨야 합니다. 부호표, 함숫값 관계, 함수 사이의 등식을 먼저 적고 계산을 시작하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 접근법이 보이는 기본형과 보통 문항을 확보하세요. 15·16번에서 조건 해석이 길어지면 표시하고 17~19·21번을 확인하는 편이 좋습니다. 어려운 문항을 번호순으로 끝내려 하기보다 전체를 훑어 풀이가 가능한 문제를 먼저 마치는 연습을 하세요.

운동 문항에서는 요구량을 먼저 적어 두세요. 17번의 이동 거리, 18번의 위치, 19번의 위치 변화량은 같은 계산이 아닙니다. 20번은 초기 위치에 누적 변화를 더해 원점 도달을 판단해야 하므로 속도의 부호와 위치의 부호를 구별해야 합니다.

검토할 때는 계산을 전부 반복하기보다 경계 조건을 보세요. 8번은 판별식의 경계, 12·24번은 수평선이 극값 높이에 닿는 경우, 16번은 좌우 미분계수가 핵심입니다. 22번에서는 기하적으로 가능한 정의역을, 23번에서는 극대·극소의 순서를 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 도함수 그래프의 부호로 증가·감소와 극값을 읽는 연습부터 하세요. 그래프의 높이와 기울기를 구별해 설명해 보세요(1·6·8번 대비).
2. 적분 구간의 방향, 구간 분할, 절댓값의 부호 처리를 복습하세요. 식을 계산하기 전에 분할 지점을 표시하세요(2·3·4·21번 대비).
3. 운동 그래프에서 거리·위치·변화량을 나란히 비교하세요. 각 요구량에 초기 위치와 절댓값이 필요한지 먼저 판단하세요(7·17·18·19·20번 대비).
4. 최대·최소는 변수를 정하고 정의역을 쓴 뒤 미분하는 순서로 연습하세요. 부호표로 최적값의 근거까지 남기세요(6·10·11·22번 대비).
5. 극값과 절댓값 그래프를 이용한 교점 유형을 연습하세요. 수평선이 경계 높이에 놓일 때도 따로 그려 보세요(12·23·24번 대비).
6. 적분 등식과 함수 관계식은 대입 조건과 미분 결과를 따로 기록하세요. 고정 구간의 적분과 변수 상한의 적분을 구별하세요(9·13·14·15·16·25번 대비).