잠신고등학교
2022년 2학년 2학기 기말고사

잠신고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

잠신고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용입니다. 극대·극소와 최대·최소, 실근의 개수, 적분식의 해석, 이동거리와 넓이가 주요 소재입니다.

미분과 적분이 단원별로 완전히 분리되지는 않습니다. 정적분 문항에서도 적분으로 정의한 함수를 미분해 증감을 살피고, 도함수 활용 문항에서도 원래 함수를 복원해야 합니다. 어떤 함수를 기준으로 부호표를 만들 것인지 정하는 능력이 중요합니다.

전반부의 최대·최소와 적분 등식은 출발점이 비교적 분명하지만, 중후반에서는 중근이나 절댓값, 접선 조건으로 함수의 구조를 추론해야 합니다. 서술·단답형도 부피 모델링에서 실근 개수와 넓이의 최적화로 이어지므로, 계산 결과에 이르는 근거를 짧고 정확하게 쓰는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 중후반에 이어지는 조건 해석

보통 문항은 1~7번과 14·20번입니다. 닫힌구간의 최댓값, 적분식의 미분, 대칭구간 적분 등 기본 원리를 확인할 수 있습니다. 다만 6번의 이동거리처럼 부호를 나누어야 하는 문제도 있어, 보통이라는 분류를 단순 대입형과 같은 뜻으로 받아들이면 안 됩니다.

8~13번에서 어려움 문항이 이어지고, 14번 뒤의 15~19번도 자동 분류 기준 어려움입니다. 도함수의 근으로 그래프를 추정하거나 적분 조건으로 계수를 제한하는 과정에서 경우를 나누게 됩니다. 14번은 연결점의 연속과 미분가능성을 먼저 쓰면 접근할 수 있으므로 앞 문항에 막혀 함께 넘기지 않도록 하세요.

서술·단답형에서는 20번이 보통이고 21~23번이 어려움입니다. 난이도는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감과 일치한다고 단정할 수 없습니다. 이 구성에서는 풀이가 긴 문항을 잠시 보류하고 접근 가능한 문항을 확인하는 운영이 유용합니다.

출제 단원 — 도함수 활용과 정적분의 연결

도함수의활용에서는 극값을 찾는 계산을 넘어 실근 개수와 접선 조건을 해석합니다. 8·17·21번은 그래프와 수평선의 만남을 살피는 흐름이고, 16번은 절댓값을 취한 함수의 미분불가능성을 근의 성질과 연결합니다. 도함수가 사라지는 점과 실제 극값을 갖는 점을 구별하는 것이 공통 기초입니다.

정적분에서는 등식의 적분 구간이 상수인지 변수인지에 따라 접근이 달라집니다. 3·7번은 정적분을 상수로 두거나 구간을 분할해 정리하고, 2·18·22번은 미분과 연결 조건을 활용합니다. 12·13번처럼 적분으로 정의된 함수의 최대·최소나 절댓값까지 이어지는 유형도 준비해야 합니다.

부정적분의 10번은 두 함수의 차를 도입해 도함수 조건을 묶는 문제입니다. 정적분의활용에서는 6번의 이동거리와 23번의 넓이 모두 부호에 따른 구간 분할이 필요합니다. 공식 암기보다 적분할 대상과 부호를 먼저 정하는 습관이 여러 단원에 함께 쓰입니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인한 순위가 아니라 조건 해석의 연결 구조를 바탕으로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 새로운 함수나 그래프를 도입한 뒤 원래 조건을 다시 해석한다는 것입니다. 보조함수의 정의와 각 조건의 쓰임을 여백에 적어 두면 풀이의 방향을 유지하기 좋습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~7번의 기본형을 정확히 처리하고, 중후반에서 식의 구조가 바로 보이지 않으면 표시한 뒤 이동하세요. 14번과 서술·단답형 20번도 초기에 접근 가능성을 확인할 만합니다. 객관식을 모두 끝낸 뒤 서술·단답형을 시작하기보다 전체 문항에서 먼저 완성할 수 있는 풀이를 찾으세요.

절댓값과 실근 개수 문항은 경계값을 별도로 점검하세요. 13·21번에서는 수평선이 극값의 높이에 닿는 경우를 열린 구간의 경우와 구별해야 합니다. 16번에서는 중근인 교점과 단순근인 교점의 역할이 다르고, 18번에서는 구간별로 구한 근이 실제로 그 구간에 속하는지 확인해야 합니다.

서술·단답형은 출발 조건과 결론의 근거를 남기세요. 20번은 높이의 범위와 최대가 되는 이유, 21번은 높이에 따른 교점 개수의 분류, 22번은 접촉 조건과 극소 판정, 23번은 넓이의 구간 분할을 적어야 합니다. 마지막 검토에서는 긴 계산을 반복하기보다 부호표와 경계, 후보의 허용 범위를 우선 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 도함수의 부호표로 증가·감소와 극값을 판정하고, 구간의 끝값까지 비교하는 기본형을 먼저 정리하세요. 도함수가 사라져도 부호가 바뀌지 않는 예외를 포함하세요(1·4·5·11번 대비).
2. 적분 등식은 상수 구간과 변수 구간으로 나누어 연습하세요. 정적분을 상수로 두는 방법, 구간 분할, 양변 미분 중 무엇을 먼저 적용할지 설명해 보세요(2·3·7·15번 대비).
3. 원래 그래프를 스케치한 뒤 절댓값 그래프와 수평선의 교점을 살피세요. 극값 높이의 경계와 중근에서의 차이를 표로 정리하세요(8·13·16·17·21번 대비).
4. 연속·미분가능·접촉 조건을 함수값과 도함숫값의 관계로 옮기는 연습을 하세요. 조건 적용 후에도 실제 극값 여부는 부호 변화로 검사하세요(14·18·19·22번 대비).
5. 적분으로 정의된 함수는 미분한 함수의 부호로 증감을 판단하세요. 대칭구간의 홀짝 성질을 이용한 계수 제한도 함께 복습하세요(12·13·18·22번 대비).
6. 이동거리와 넓이를 부호에 따라 분할하고, 도형의 부피나 넓이를 한 변수의 함수로 만드는 연습으로 마무리하세요. 허용 범위를 먼저 적는 습관을 들이세요(6·9·20·23번 대비).