방산고등학교
2025년 2학년 2학기 중간고사

방산고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

방산고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료의 출제 단원은 함수의극한, 함수의연속, 미분계수와도함수입니다. 극한의 기본 계산부터 구간별 함수의 연속성과 미분가능성까지 연결되며, 같은 개념을 계산과 성질 판단 양쪽에서 다룹니다.

초반에는 대입, 평균변화율, 곱의 미분법처럼 출발 방법이 분명한 문제가 나옵니다. 이후에는 그래프의 접근 방향, 분모의 영점, 연속 조건을 식으로 바꾸는 과정이 중요해집니다. 공식을 알고 있는 것에 더해 그 공식을 적용할 수 있는 조건을 확인해야 합니다.

후반에는 불연속인 함수끼리의 곱이나 불연속 함수와 다항함수의 곱을 살펴보는 문항이 이어집니다. 개별 함수가 불연속이라는 사실만으로 곱의 불연속을 단정하면 안 됩니다. 어느 인수가 경계에서 사라지는지, 연속을 확보한 뒤에도 미분가능성이 남는지를 따로 점검하는 시험입니다.

난이도 분포 — 기본 계산 이후의 조건 해석

자동 분류 기준 쉬움은 1~7번에 모여 있습니다. 다만 6번의 절댓값과 7번의 합성된 입력은 부호와 접근 방향을 먼저 확인해야 합니다. 쉬운 구간을 빠르게 푼다는 것은 대입을 서두르는 것이 아니라, 필요한 조건을 짧고 정확하게 확인한다는 뜻입니다.

보통 문항은 8·9·10·12·13·15·19번으로 흩어져 있습니다. 판별식, 극한의 대소 관계, 인수정리, 미분계수의 정의 등 접근법이 다양합니다. 특히 12번은 극한 성질의 조건을, 19번은 공식이 성립하는 근거를 설명하는 능력을 요구합니다.

어려움 문항이 후반에 이어지지만 번호만으로 풀이 순서를 고정할 필요는 없습니다. 11·14번에서 막히면 뒤의 보통 문항을 확인하고, 16~18번에서 시간이 길어지면 19번의 증명 구조를 먼저 살펴보세요. 분류는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도를 직접 보여 주는 자료는 아닙니다.

출제 단원 — 극한의 비중과 연속의 난도

함수의극한은 가장 많이 출제되었으며 자동 분류 기준 어려움에 해당하는 문항은 없습니다. 그렇다고 단순 대입만 연습해서는 부족합니다. 7번의 방향 전환, 9번의 대소 관계, 12번의 성질 판단, 13번의 인수 구조처럼 서로 다른 표현을 극한 계산이 가능한 형태로 바꾸는 연습이 필요합니다.

함수의연속은 기본 접합 조건을 다루는 3번과 분모 조건을 확인하는 8번 이후에 복합적인 문제가 이어집니다. 16·18번은 이동된 함수와의 곱, 17번은 극한의 존재와 함숫값의 차이, 20번은 교점 개수로 정의한 함수가 핵심입니다. 경계점을 먼저 찾고 표로 정리하는 습관이 특히 유용합니다.

미분계수와도함수에서는 계산과 논리 설명을 함께 준비해야 합니다. 5번에서 사용하는 곱의 미분법은 19번에서 증명 대상으로 바뀝니다. 14번의 명제 판단과 21번의 미분가능성은 연속이라는 필요조건만으로 결론을 내릴 수 없다는 점을 확인하게 합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 문항 수와 고난도 배치의 변화

작년과 올해는 모두 수학II입니다. 총 문항과 서술·단답형이 줄었고, 자동 분류 기준 쉬움과 보통의 문항 수는 같으며 어려움은 감소했습니다. 다만 이 수치만으로 실제 풀이 부담이 같은 폭으로 줄었다고 단정할 수는 없습니다. 올해는 후반에 경계 조건을 여러 번 확인하는 문제가 이어집니다.

가장 많은 단원은 작년의 함수의연속에서 올해의 함수의극한으로 바뀌었습니다. 함수의연속은 8문항에서 6문항, 함수의극한은 7문항에서 8문항, 미분계수와도함수는 6문항에서 7문항으로 바뀌었습니다. 작년 자료에 있던 도함수의활용은 올해 단원 분류에 없습니다. 올해는 극한의 기본기를 넓게 확보하고 연속·미분가능성의 결합으로 확장하는 준비가 적절합니다.

작년의 어려움은 13~20번과 서술·단답형 23번에 있었고, 올해는 11·14번부터 나타나 16~18·20·21번으로 이어집니다. 올해 서술·단답형 19번은 보통으로 분류됩니다. 따라서 후반을 모두 같은 난도로 여기기보다, 문제마다 조건을 정리하는 데 필요한 시간을 판단하며 풀이 순서를 조절하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확정한 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 경계를 찾은 뒤 각 구간의 식과 경계의 함숫값을 따로 확인해야 한다는 것입니다. 계산보다 경우 분류가 먼저이며, 마지막에는 빠진 경계가 없는지 다시 점검하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~10번의 기본 계산과 조건 해석을 안정적으로 처리하세요. 11번 이후에는 접근이 바로 보이는 문항부터 진행하고, 경계 분류가 길어지면 후보점만 적어 둔 뒤 넘어가는 연습을 권합니다. 실제 제한 시간이 자료에 없으므로 일정한 분 단위 배분보다, 연습에서 계산 시간과 조건 정리 시간을 따로 기록해 조절하세요.

19번은 공식을 쓰는 문제와 증명하는 문제가 다르다는 점에 주의하세요. 정의에서 출발해 차분을 분리하고 극한을 적용하는 흐름을 문장으로 설명할 시간이 필요합니다. 어려움 문항을 모두 끝낸 뒤 증명을 시작하기보다, 전체를 훑을 때 증명의 출발점이 보이는지 먼저 확인해 두세요.

마지막 검토에서는 6·7번의 부호와 접근 방향, 8번의 분모 조건, 10·17번의 함숫값과 극한값 구별을 확인하세요. 16·18·20번은 곱의 각 인수가 경계에서 어떤 값을 갖는지, 21번은 연속 조건만 확인하고 멈추지 않았는지가 중요합니다. 계산 결과를 처음 조건에 대조하는 검토를 남겨 두세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 대입 가능한 극한과 변형이 필요한 극한을 구별하세요. 절댓값의 부호와 좌우 접근 방향을 말로 설명한 뒤 계산하세요(1·2·6·7·10번 대비).
2. 극한의 대소 관계와 사칙연산 성질을 복습하세요. 몫과 역수로 바꾸기 전에 적용 조건을 적고, 성립하지 않는 명제에는 반례를 찾아보세요(9·12번 대비).
3. 연속 조건을 좌우극한과 함숫값으로 나누어 쓰세요. 분모의 영점과 다항식의 인수를 연결하는 연습까지 이어가세요(3·8·13·17번 대비).
4. 평균변화율과 접선 기울기를 구별하고 곱의 미분법을 익히세요. 계산 문제를 푼 뒤 같은 공식을 정의에서 설명해 보세요(4·5·11·15·19번 대비).
5. 이동된 함수의 경계점을 수직선에 함께 표시하세요. 각 후보점에서 곱의 좌우극한과 함숫값을 표로 작성하는 유형을 반복하세요(16·18·20번 대비).
6. 연속성과 미분가능성을 단계별로 검토하세요. 반례로 명제를 확인한 뒤 경계의 좌우미분계수를 비교하는 유형으로 확장하세요(14·21번 대비).