매탄고등학교
2022년 2학년 2학기 중간고사

매탄고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

매탄고등학교는 경기 수원시에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 함수의 극한, 함수의 연속, 미분계수와 도함수, 도함수의 활용입니다. 적분보다 앞선 극한과 미분의 개념을 다루며, 그래프에서 읽은 정보를 식과 연결하는 구성이 포함되어 있습니다.

1~9번은 자동 분류 기준 모두 쉬움입니다. 최고차항을 이용한 극한, 접선의 기울기, 평균값 정리, 사잇값 정리, 곱의 미분법 등 기본 도구를 폭넓게 확인합니다. 이 구간에서는 복잡한 전개보다 문제에 맞는 정의나 정리를 고르는 정확성이 중요합니다.

후반에는 같은 개념이 새로운 형태로 제시됩니다. 부등식에서 필요한 비율의 극한을 얻거나, 함수 관계식을 차분으로 바꾸어 도함수를 찾는 식입니다. 서술·단답형에서도 연속이라는 가정을 식의 약분 이후에 다시 사용해야 하므로, 계산 결과와 그 결과가 성립하는 이유를 함께 정리하세요.

난이도 분포 — 초반 기본형과 후반 조건 해석

쉬움 구간에서도 개념 사이의 차이를 구별해야 합니다. 3·4번에서는 극한의 수렴과 발산, 좌극한과 우극한을 확인하고, 6번에서는 평균변화율과 순간변화율을 나누어 해석합니다. 용어가 익숙하다는 이유로 식의 분모나 접근 방향을 생략하면 초반에도 실수가 생길 수 있습니다.

10~16번은 보통과 어려움이 섞여 있습니다. 11번에서 미정계수 검토가 막히더라도 12번의 접선 기울기 최소 문제나 14번의 미분계수 활용 문제를 따로 확인하세요. 번호 순서대로 난도가 계속 높아지는 배열로 생각하면 접근 가능한 문항을 놓치기 쉽습니다.

서술·단답형은 17·18번이 보통, 19번이 어려움입니다. 분류는 자동 분류 기준이며 학생마다 체감은 달라질 수 있습니다. 특히 19번은 미분 계산에서 끝나지 않고 원의 성질과 좌표 관계를 연결해야 하므로, 앞선 서술형에서 근거를 간결하게 쓰는 연습이 시간 확보에 도움이 됩니다.

출제 단원 — 극한과 미분의 정의를 함께 준비

함수의극한은 기본 계산에서 미정계수와 대소 관계까지 이어집니다. 11번은 유한한 극한을 위한 조건으로 얻은 후보를 원래 조건에 대조해야 하고, 13번은 부등식에서 어떤 비율의 극한을 먼저 얻을지 판단해야 합니다. 대입이 막힐 때 곧바로 전개하기보다 극한의 형태부터 살펴보세요.

미분계수와도함수에서는 14·15번의 정의 활용과 16번의 미분가능성 해석이 중요합니다. 미분 공식을 적용하는 9번과 달리, 분자의 차이를 기준점의 함숫값으로 나누거나 함수 관계식에서 차분을 만드는 준비가 필요합니다. 연속과 미분가능을 같은 조건으로 취급하지 않는 연습도 포함하세요.

도함수의활용은 접선의 방정식, 평균값 정리, 접선 기울기의 최솟값, 원과 곡선의 공통 접선으로 확장됩니다. 함수의연속은 사잇값 정리와 최대·최소 정리뿐 아니라 약분으로 제외한 점의 함숫값을 연결하는 서술형을 포함합니다. 분류상 보통이어도 정리를 적용하는 가정은 풀이에 남겨야 합니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확정된 난도 순위가 아니라 조건 해석 과정을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 처음 주어진 형태를 계산에 바로 사용할 수 없다는 것입니다. 부등식은 비율로, 최대 거리는 구간별 식으로, 공통 접선은 수직 관계로 바꾸는 첫 단계를 말로 설명하는 연습을 하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~9번을 개념 확인과 계산 검산 중심으로 처리하세요. 후반에서 풀이 방향이 보이지 않으면 표시하고 다음 문항을 확인하는 편이 좋습니다. 11·13번을 모두 해결한 뒤에만 서술형을 보겠다는 방식보다, 17·18번의 연속성 문제까지 먼저 살펴 해결 가능한 부분을 확보하세요.

서술·단답형은 계산 전 근거를 짧게 적는 습관이 필요합니다. 17번에서는 닫힌 구간에서의 연속성과 그래프의 변화, 18번에서는 나눌 수 없는 점의 처리, 19번에서는 접선과 반지름의 수직 관계가 출발점입니다. 연습할 때 조건을 식으로 바꾸는 데 걸린 시간과 계산 시간을 나누어 기록해 보세요.

마지막 검토에서는 적용 범위를 확인하세요. 7번의 사잇값 정리는 실근의 존재를 보장하는 조건이고, 8번은 정의역에 맞춰 연속성을 봐야 합니다. 11번의 후보는 원래 극한에 되넣고, 14번은 변화량의 배율을, 16번은 경계의 좌우미분계수를, 18번은 약분으로 제외한 점을 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 유리식 극한과 그래프 읽기를 먼저 복습하세요. 접근 방향, 약분 가능한 범위, 수렴과 발산을 풀이 첫 줄에서 구분해 보세요(1·3·4번 대비).
2. 연속성의 조건과 관련 정리를 정리하세요. 사잇값 정리와 최대·최소 정리가 각각 무엇을 보장하는지 설명하고 적용 구간을 표시하세요(7·8·17번 대비).
3. 평균변화율과 미분계수, 곱의 미분법을 연결하세요. 접선 정보에서 함숫값과 도함숫값을 따로 적는 연습을 하세요(2·5·6·9번 대비).
4. 미분계수의 정의로 극한을 바꾸는 유형을 연습하세요. 기준점의 함숫값을 더하고 빼는 이유와 변화량의 배율을 설명해 보세요(14·15번 대비).
5. 극한 조건의 후보 검토와 부등식 변형을 연습하세요. 후보를 얻은 조건과 후보를 검증할 조건을 구별하고 분모의 상태를 확인하세요(11·13번 대비).
6. 접선과 구간별 함수의 응용을 묶어 연습하세요. 접점 설정, 도함수의 최솟값, 거리 비교의 경계, 반지름의 수직 관계를 스케치하세요(10·12·16·19번 대비).
7. 연속성을 이용한 서술형을 마무리하세요. 약분 전의 제외 조건과 제외된 점에서 극한을 사용하는 이유를 완결된 문장으로 써 보세요(18번 대비).