방산고등학교
2022년 2학년 2학기 기말고사

방산고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

방산고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이 회차는 도함수의 활용부터 부정적분, 정적분과 그 활용까지를 다룹니다. 객관식과 서술·단답형이 섞여 있으므로 전체 구성을 먼저 살핀 뒤 풀이 순서를 정하는 것이 좋습니다.

기본 적분 공식만으로 끝나는 시험은 아닙니다. 곡선과 원 사이의 거리, 운동 상황, 도형 넓이의 순간변화율처럼 상황을 함수로 바꾸는 문항이 있고, 실근 개수나 극값 조건에서 그래프의 모양을 읽는 문항도 이어집니다.

후반부에서는 정의된 함수를 직접 구성하는 능력이 중요합니다. 특히 구간에서의 최솟값을 새로운 함수로 읽고, 그 함수의 넓이나 미분가능성을 판단해야 합니다. 적분과 미분을 따로 암기하기보다 변화와 누적의 관계로 연결해 연습할 필요가 있습니다.

난이도 분포 — 후반 객관식에 모인 어려움 문항

쉬움 구간인 1~4번은 대칭 구간의 적분, 곡선과 축 사이의 넓이, 적분으로 정의된 함수의 미분, 적분 구간의 연결을 확인합니다. 계산을 서두르기보다 부호와 적분 방향을 정확히 적는 습관으로 안정적으로 풀어야 합니다.

보통 구간인 5~13번은 같은 계산을 반복하는 구성이 아닙니다. 연속성으로 적분상수를 연결하거나, 거리의 최솟값을 함수로 만들거나, 극점 사이에 놓이는 조건을 도함수의 부호로 바꿉니다. 접근 방법을 빨리 정하는 연습이 필요합니다.

14~16번에서 조건 해석이 복잡해진 뒤, 17~19번 서술·단답형에서 보통 수준으로 돌아옵니다. 마지막 20~22번은 그래프를 나누고 경계에서의 성질까지 확인해야 합니다. 자동 분류 기준의 난이도이므로 개인별 체감은 다를 수 있습니다.

출제 단원 — 도함수의활용 중심, 적분과 그래프의 연결

도함수의활용에서는 증가·감소표를 바탕으로 실근 개수, 최대·최소, 극값 조건을 판단합니다. 9번의 수평선과 그래프 해석은 20번의 교점 개수 문제로, 18번의 최솟값 판단은 22번의 복잡한 최솟값 함수 해석으로 이어지는 연습의 토대가 됩니다.

정적분은 기본 성질에서 출발해 함수의 차와 중근을 해석하는 14번, 대칭성과 극값을 연결하는 15번까지 확장됩니다. 같은 단원 안에서도 직접 적분보다 먼저 함수 형태를 결정해야 하는 문항이 있으므로, 적분식만 보고 바로 전개하지 마세요.

정적분의활용은 넓이와 운동을 함께 다룹니다. 7·11·19번에서는 속도와 위치, 거리의 구별이 중요하고, 21번에서는 적분할 대상을 구간별로 먼저 정해야 합니다. 부정적분은 5번에 배치됐지만 적분상수와 연속성을 연결하는 기본기는 다른 복합 문항에도 필요합니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 순위가 확인된 것이 아니라 해설과 개념을 바탕으로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 식의 계산에 앞서 적용 구간을 결정해야 한다는 것입니다. 부호표, 증가·감소표, 구간별 함수식을 먼저 작성하면 누락된 경계 조건을 점검하기 쉬워집니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~4번의 기본 적분을 정확히 처리한 뒤, 5~13번에서 풀이 방향이 보이는 문항을 이어 가세요. 14~16번에서 함수 형태나 경우 구분이 잡히지 않으면 표시해 두고 서술·단답형 17~19번을 확인하세요. 어려움 구간에 오래 머물러 보통 문항을 시작하지 못하는 상황을 줄이는 운영입니다.

서술·단답형은 결과에 이르는 근거를 짧게 정리할 시간을 확보하세요. 17번은 도함수 그래프에서 원함수의 극대·극소를 판단한 근거, 18번은 전 구간 부등식을 최솟값 조건으로 바꾼 이유, 19번은 위치 차의 절댓값과 구간 끝값을 비교한 과정을 적는 연습이 도움이 됩니다.

마지막 검토에서는 10번의 절댓값 경계와 감소 구간, 12번의 극점 사이를 뜻하는 엄격한 범위, 18번의 매개변수 제외 조건을 점검하세요. 19번은 위치의 변화량과 움직인 거리를 구별하고, 20번은 허용 구간과 중복 교점, 21·22번은 함수식이 바뀌는 지점의 처리를 다시 확인해야 합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 정적분의 기본 성질부터 정리하세요. 대칭 구간, 적분 방향, 구간의 합성을 말로 설명하고 계산에 적용하는 연습을 하세요(1·3·4번 대비).
2. 적분상수와 그래프 이동을 연결하세요. 구간별로 적분한 뒤 연속성을 적용하고, 그래프 이동에 따라 적분 구간이 함께 바뀌는 것을 그림으로 확인하세요(5·8번 대비).
3. 증가·감소표를 이용한 조건 해석을 익히세요. 거리의 최솟값, 실근 개수, 전 구간 감소, 극점 사이의 위치를 각각 도함수의 부호로 바꾸세요(6·9·10·12·18번 대비).
4. 운동과 변화율을 구분해 연습하세요. 속도의 부호와 누적 위치를 표시하고, 도형의 길이를 시간에 대한 함수로 표현해 넓이를 미분하세요(7·11·13·19번 대비).
5. 중근·대칭성·극값으로 함수의 형태를 좁히세요. 가능한 형태를 먼저 적은 뒤 적분 조건이나 극값 조건으로 검증하는 순서를 익히세요(14·15·16·17번 대비).
6. 마지막으로 구간별 함수 구성에 집중하세요. 절댓값의 허용 구간, 움직이는 구간의 최솟값, 함수식이 바뀌는 곳의 기울기를 차례로 확인하세요(20·21·22번 대비).