양천고등학교
2025년 2학년 2학기 중간고사

양천고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

양천고등학교는 서울 양천구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 범위는 함수의 극한과 연속, 미분계수와 도함수, 도함수의 활용입니다. 극한의 기본 계산에서 출발해 불연속점과 접선, 매개변수에 따른 실근 개수 해석까지 연결됩니다.

함수의 연속은 극한값과 함숫값을 맞추는 기본형에만 머물지 않습니다. 이동하는 도형의 교점 수, 방정식의 실근 수를 함수로 정의한 뒤 그 함수의 연속성을 살피는 문항이 포함됩니다. 원래 그래프의 변화와 새로 정의한 함수의 변화를 구분하는 것이 중요합니다.

미분에서도 공식을 적용하기 전의 식 정리가 필요합니다. 항등식으로 함수 형태를 제한하거나 접한다는 조건을 중근 구조로 바꾸고, 차분 형태의 극한을 미분계수로 읽어야 합니다. 계산을 시작하기 전에 어떤 조건을 먼저 사용할지 짧게 적는 연습이 도움이 됩니다.

난이도 분포 — 중반부터 이어지는 조건 해석

쉬움은 1·2·4·6번으로 초반에 배치되어 있습니다. 그래프에서 접근 방향을 읽고, 이차함수의 꼭짓점과 끝점을 비교하거나 생산비의 도함수를 해석하는 기본기를 확인합니다. 쉬운 분류라도 절댓값과 근호의 부호를 생략하면 실수할 수 있습니다.

5·7번에서 어려움이 등장한 뒤 8번은 보통입니다. 9~18번은 자동 분류 기준 어려움이 이어지므로 앞 번호부터 모두 해결하려 하면 특정 문항에 시간이 묶일 수 있습니다. 식의 구조가 바로 보이지 않는 문제에는 표시를 남기고 다음 접근 가능한 문항을 찾으세요.

서술·단답형에서는 19번과 21~24번이 어려움이며 20번은 보통입니다. 후반부를 통째로 미루기보다 근호의 부호를 정리하면 풀 수 있는 20번도 함께 확인하세요. 이 분포는 자동 분류 기준이므로 실제 응시자의 체감 난도나 문항별 난도 순위를 확정하는 자료는 아닙니다.

출제 단원 — 연속과 그래프 변화가 중심

가장 많은 함수의연속에서는 9번의 유리식 연속 조건, 12번의 곱의 연속성, 17번의 합의 불연속점처럼 함수 결합을 다룹니다. 각 함수가 끊기는 위치를 먼저 표시한 뒤, 결합한 함수에서도 그 불연속이 남는지 확인해야 합니다. 불연속 함수끼리 곱하거나 더했다는 사실만으로 결론을 내리지 마세요.

함수의극한은 계산과 모델링이 함께 나옵니다. 7번은 원과 접선의 기하 관계를 길이의 비로 바꾸고, 21번은 정사각형 안의 교점을 좌표로 나타내어 넓이의 극한을 구합니다. 18번은 모든 실수에서 극한이 존재한다는 조건을 분모의 실근과 인수의 중복도로 해석해야 합니다.

미분계수와도함수에서는 접선의 기하적 의미와 항등식 활용이 중요합니다. 3번의 접점 설정에서 13·14번의 함수 결정, 16번의 도함수 연속성 활용으로 이어집니다. 도함수의활용에 속한 6번도 생산비 자체의 최소와 한계비용의 최소를 구별해야 하므로 문제에서 최소화하는 대상을 먼저 확인하세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 순위가 아니라 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 일반적인 구간의 계산보다 경계에서 달라지는 경우를 찾는 일이 중요합니다. 경계 후보를 먼저 적고 그 값 자체와 양옆의 상황을 따로 검사하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1·2·4·6번의 기본형과 접근이 보이는 3·8번을 우선 확인하세요. 5·7번에서 출발점을 찾지 못하면 표시하고 넘어가며, 객관식 중후반을 모두 마친 뒤 서술·단답형을 시작하겠다는 고정된 순서는 피하세요. 20번처럼 부호 정리가 핵심인 문항을 먼저 확보할 수 있습니다.

조건 해석이 긴 문항에는 계산 전에 틀을 남기세요. 10·23·24번은 교점이나 실근 수가 바뀌는 경계표를, 12·17번은 좌극한·우극한·함숫값 비교표를 만들면 재시도할 때도 이어 풀기 쉽습니다. 19번은 부호가 바뀌는 구간을 표시하고 연속성이 근의 존재를 보장하는 이유까지 적어 두세요.

마지막 검토는 새 계산보다 조건 누락에 집중하세요. 1·20번의 접근 방향과 근호 부호, 9·14·18번의 분모 조건, 15번의 차수가 낮아지는 경우를 살펴보세요. 23번은 정의 구간 밖의 근을 세지 않았는지, 22번은 증분에 따른 배수를 놓치지 않았는지 확인하는 것이 좋습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 한쪽 극한과 근호·절댓값의 부호부터 복습하세요. 입력 변환 뒤 접근 방향을 말로 설명하고 유리화와 차수 비교를 구별해 적용하세요(1·4·20번 대비).
2. 연속과 미분가능성의 경계 조건을 표로 정리하세요. 좌우극한과 함숫값을 맞춘 뒤 좌우미분계수를 비교하는 순서를 익히세요(8·9·12·17번 대비).
3. 접점의 좌표와 접선의 기울기를 구분해 연습하세요. 접선 방정식을 세우는 방법과 함수에서 접선을 뺀 식의 중근 구조를 함께 익히세요(3·13·14번 대비).
4. 항등식과 미분계수의 정의를 연결하세요. 상수인 경우의 검토, 유계인 다항식의 성질, 차분몫의 증분 맞추기를 각각 설명해 보세요(5·11·16·22번 대비).
5. 근과 교점의 개수는 경계표로 정리하세요. 판별식뿐 아니라 차수 변화, 정의 구간, 중복도, 접촉 순간을 함께 점검하세요(10·15·18·23·24번 대비).
6. 도형의 극한과 실근 존재의 서술을 연습하세요. 닮음이나 좌표로 식을 만드는 이유와 사잇값의 정리를 적용할 수 있는 근거를 짧게 쓰세요(7·19·21번 대비).