문정고등학교
2022년 2학년 2학기 중간고사

문정고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

문정고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 범위는 함수의 극한과 연속, 미분계수와 도함수, 도함수의 활용입니다. 그래프의 극한을 읽는 기본형부터 평균값 정리와 접선을 활용하는 문제까지 이어집니다.

문항의 공통된 요구는 조건을 적절한 수학적 표현으로 바꾸는 것입니다. 주기함수의 연속은 연결 지점의 등식으로, 실근의 존재는 보조함수의 부호로, 곡선 밖에서 그은 접선은 접점을 변수로 둔 방정식으로 바꾸어야 합니다. 공식을 알고 있어도 적용 대상을 고르는 데 시간이 들 수 있습니다.

서술·단답형은 기본 연속 조건부터 합성함수, 도함수의 정의, 평균값 정리까지 포함합니다. 객관식 풀이를 모두 마친 뒤에야 서술형을 시작하면 접근 가능한 문항까지 늦어질 수 있습니다. 전체 문항을 훑고 계산형과 조건 해석형을 구별하는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 중반의 조건 해석과 서술형의 근거 정리

자동 분류 기준 쉬움은 초반 극한 문제와 15번의 연속 조건입니다. 극한의 기본 성질, 그래프의 좌우극한, 무리식의 유리화가 준비되어 있다면 먼저 확인할 구간입니다. 다만 그래프의 점 위치를 함숫값과 혼동하거나 분모가 사라지는 조건만 적으면 기본 문항에서도 실수할 수 있습니다.

자동 분류 기준 보통에는 계산뿐 아니라 논리 판단이 포함됩니다. 8번은 극한의 성질에 반례를 적용하고, 16번은 열린구간에서 실근이 반드시 존재할 조건을 따집니다. 19번 역시 상한을 얻는 단계와 그 상한이 실제로 실현되는지를 확인하는 단계를 구별해야 합니다.

자동 분류 기준 어려움 문항 사이에 보통 문항이 배치되어 있습니다. 7번이나 10·11번에서 막혀도 뒤의 그래프 해석이나 기본 연속 조건을 계속 확인하세요. 이 난이도는 자동 분류 결과이므로 실제 응시자의 체감과 같다고 단정할 수 없으며, 학습할 때에는 막힌 원인이 계산인지 조건 해석인지 구별하는 편이 유용합니다.

출제 단원 — 극한과 연속을 중심으로 미분까지 연결

함수의극한은 그래프 판독, 유리화, 다항식 결정, 성질의 참·거짓 판단, 도형의 극한으로 나뉩니다. 같은 극한 문제라도 바로 대입할 수 있는지, 먼저 인수를 찾아야 하는지, 길이를 좌표로 바꾸어야 하는지에 따라 출발점이 다릅니다. 식을 정리하기 전에 미정형의 원인부터 표시해 보세요.

함수의연속은 주기적으로 이어지는 함수, 이동한 함수들의 곱, 합성함수의 그래프, 사잇값 정리까지 폭이 넓습니다. 특히 11·17번은 원래 함수의 불연속이 새 함수에서 어떻게 달라지는지를 묻습니다. 각 함수의 불연속점을 단순히 모으기보다 곱하는 인수의 값이나 안쪽 함수의 치역을 확인해야 합니다.

미분 관련 단원은 연속성과 미분가능성의 구별에서 시작해 접선과 평균변화율로 확장됩니다. 18번은 도함수의 정의를 실제 항등식에 적용하고, 9·20번은 접선의 기울기를 도형 조건에 연결합니다. 도함수를 구하는 계산과 그 도함수를 어떤 조건식에 넣을지를 따로 연습하세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움 중 풀이 구조를 살펴 고른 분석상 고난도 문항이며, 이용자 투표로 확인한 순위는 아닙니다. 공통점은 중간에 얻은 조건만으로 결론을 내릴 수 없다는 데 있습니다. 범위의 실현, 좌표로 표현한 길이의 조건, 경계에서의 실제 함수값까지 되돌아가 확인하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 극한의 기본형과 접근법이 분명한 연속 조건을 먼저 처리하세요. 7번에서 대칭성과 극한 변형이 길어지거나 14번에서 좌표 설정이 정리되지 않으면 필요한 관계만 적고 넘어갈 수 있습니다. 서술·단답형의 15번과 18번처럼 출발 조건이 명확한 문항도 일찍 확인해 두세요.

서술·단답형을 연습할 때는 계산 시간과 근거를 정리하는 시간을 함께 기록하세요. 16번은 보조함수의 연속성과 부호 조건, 18번은 정의에 맞춘 차분몫, 19번은 평균값 정리와 등호의 실현을 남겨야 합니다. 막연히 정리 이름만 적기보다 어떤 구간과 어떤 함수에 적용하는지 짧게 명시하는 습관이 좋습니다.

검토에서는 접근 방향과 경계를 우선 확인하세요. 5번은 주기의 양 끝, 11번은 불연속 후보의 겹침과 소거, 12번은 합성 입력의 접근 방향이 중요합니다. 16번의 열린구간과 17번의 경계 높이를 다시 살피고, 20번에서는 구하려는 거리가 두 접선에 수직인 거리인지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 극한의 기본 성질과 좌우극한 판독부터 복습하세요. 함숫값과 극한값을 나누어 적고, 유리화·인수분해가 필요한 이유를 설명해 보세요(1·2·3·6번 대비).
2. 연속 조건을 경계별로 쓰는 연습을 하세요. 내부 경계와 주기의 연결점을 구별한 뒤 곱에서 불연속이 사라지는 경우로 확장하세요(5·11·15번 대비).
3. 연속과 미분가능의 차이를 절댓값 그래프로 정리하세요. 좌우 미분계수를 직접 비교하고 대칭성이나 추가 가정의 역할도 확인하세요(4·7·13번 대비).
4. 그래프의 합성과 교점 개수 함수를 함께 연습하세요. 입력의 접근 방향과 치역을 먼저 표시하고 경계의 함숫값을 따로 쓰세요(12·17번 대비).
5. 사잇값 정리와 평균값 정리는 적용 조건부터 적으세요. 실근의 존재와 값의 범위, 끝값의 실현을 구별하고 명제는 반례로 점검하세요(8·10·16·19번 대비).
6. 접선과 도형의 극한은 그림을 식으로 옮기는 과정을 반복하세요. 좌표·접점 변수·거리 관계를 정리하고 항등식의 차분몫 풀이도 함께 복습하세요(9·14·18·20번 대비).